Співвідношення між шириною дерева та кількістю кліку

Чи є якісь хороші класи графів, для яких ширина дерева є верхньою межею функції клікового числа , тобто ? $tw(G)$ $\omega(G)$ $tw(G)\leq f(\omega(G))$

Наприклад, класичним є факт, що для будь-якого хордального графа маємо . Отже, класи, пов’язані з хордальними графіками, можуть бути хорошими кандидатами. $G$ $tw(G)=\omega(G)-1$

graph-theory treewidth

— Флорент Фуко
джерело

для хордальних графіків.

(G) = ω (G) - 1

$(G) = \omega(G) - 1$

— Ісін Цао

оскільки тривалість ширини закрита під час прийняття підграфів, якщо графік

має

як підграф, то ширина G повинна бути не менше ширини

, яка

G

$G$

K_{n}

$K_n$

K_{n}

$K_n$

n - 1

$n-1$

— Матеус де Олівейра Олівейра

@Matheus Я думаю, що питання навпаки. Він просить верхню межу, а ваш приклад дає нижню межу.

— Vinicius dos Santos

@Bart Jansen: розділені графіки є хордальними.

— Флорент Фуко

@FlorentFoucaud, варто розглянути можливість перетворення редагування у відповідь.

— Vinicius dos Santos

Відповіді:

На цій сторінці згадується теорема, яка забезпечує такі класи:

Теорема (Шеффлер [1]) Якщо - графік перетину з'єднаних підграфів іншого графа , то . $G$ $H$ $tw(G)\leq tw(H)\omega(G)-1$

Це узагальнює межу для хордальних графіків (для яких - дерево), а також застосовується до кругових дугових графіків (тоді - цикл). Я не знаю, чи захоплюються цією теоремою інші «стандартні» класи. $H$ $H$

[1] П. Шеффлер, Які графіки обмежили ширину дерева? Rostocker Math. Коллок. 41 (1990) 31-38.

— Флорент Фуко
джерело

"недоступний"? ти маєш на увазі папір не в Інтернеті?

— vzn

Насправді спочатку я подумав, що це конференція, але очевидно, що це деякі номери сторінок. Є веб-сайт для журналу ( math.uni-rostock.de/math/pub/romako ), я запитав, чи можна отримати примірник.

— Флорент Фуко

Я думаю, що це теж не важко довести. Можливо, це швидше, ніж отримати копію паперу :)

— Саїд

@Saeed Можливо, але я особливо сподіваюся знайти певну дискусію з цієї теми в цій статті!

— Флорент Фуко

$G$ $tw(G)\leq 3\omega(G)/2-2$

$G$ $tw(G)\leq 6\omega(G)-1$ $G$

[1] К. Камерон, С. Чаплік, КТ Хоанг. Про структуру (сковороду, рівну дірку) -вільні графіки, 2015. https://arxiv.org/abs/1508.03062

[2] К. Камерон, MVG да Сілва, С. Хуанг, К. Вушкович. Структура та алгоритми для (без шапки, рівного отвору) графіків без вікон, 2016. https://arxiv.org/abs/1611.08066

— Флорент Фуко
джерело