Лас-Вегас проти Монте-Карло рандомізовано складність дерева рішень

Фон:

Складність дерева рішень або складність запиту - це проста модель обчислення, визначена наступним чином. Нехай - булева функція. Складність детермінованого запиту , позначена , - це мінімальна кількість біт вводу яку потрібно прочитати (в гіршому випадку) детермінованим алгоритмом, який обчислює . Зверніть увагу, що мірою складності є кількість бітів вхідних даних, які читаються; всі інші обчислення безкоштовні.f D ( f ) x ∈ { 0 , 1 } n f ( x $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$

Аналогічно, ми визначаємо складність рандомізованого запиту в Лас-Вегасі , позначена , як мінімальна кількість вхідних бітів, які потрібно зчитувати в очікуванні за допомогою рандомізованого алгоритму з нульовою помилкою, який обчислює . Алгоритм з нульовою помилкою завжди видає правильну відповідь, але кількість вхідних бітів, прочитаних ним, залежить від внутрішньої випадковості алгоритму. (Тому ми вимірюємо очікувану кількість прочитаних вхідних бітів.)R 0 ( f ) f ( x $f$$R_0(f)$$f(x)$

Ми визначаємо випадковість рандомізованого запиту в Монте-Карло , позначеної , як мінімальну кількість вхідних бітів, які потрібно зчитувати за допомогою рандомізованого алгоритму з обмеженою помилкою, який обчислює . Алгоритм з обмеженою помилкою завжди дає відповідь в кінці, але він повинен бути правильним лише з імовірністю, що перевищує (скажімо).R 2 ( е ) е ( х ) 2 /$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

Питання

Що відомо про питання чи

$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$ ?

Відомо, що

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

тому що алгоритми Монте-Карло є принаймні настільки ж потужними, як алгоритми Лас-Вегаса.

Нещодавно я дізнався, що між двома складностями не відомо. Остання інформація, яку я можу знайти для цієї претензії, - це з 1998 року [1]:

[1] Микола К. Верещагін, Рандомізовані булеві дерева рішень: Кілька зауважень, Теоретична інформатика, Том 207, Випуск 2, 6 листопада 1998, Сторінки 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 .

Найвідоміша верхня межа однієї з точки зору іншої

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

завдяки [2]:

[2] Kulkarni, R., & Tal, A. (2013, листопад). Про чутливість до дробового блоку. В Електронному колоквіумі з обчислювальної складності (ECCC) (т. 20, стор. 168).

У мене є два конкретні питання.

1. [Довідковий запит]: Чи є нещодавніший документ (після 1998 року), який обговорює цю проблему?
2. Що ще важливіше , чи існує функція кандидата, яка передбачається розділити ці дві складності?

Додано в v2: Додано відповідь [2], підкреслюється друге питання про існування функції кандидата.

Наскільки я знаю, це все ще відкрито. Зовсім недавній документ, в якому згадуються ці величини та деякі межі, є Aaronson et al: слабкий паритет (див. Http://arxiv.org/abs/1312.0036 ). Ви також можете побачити розділ 14 «Юкни: булеві функції» та опитування Бурмана та де Вольфа 1999 року (досі перемагає 1998!). Ще одна нещодавня робота про складність дерев рандомізованих рішень - Магнес та ін: http://arxiv.org/abs/1309.7565

Нарешті, короткий підсумок, який я зробила для себе минулого місяця (без дефліпсів):

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (new: [Gilmer-Saks-Srinivasan]: є f st bs ^ 2 (f) = O (C (f)))

D <= N1 * bs <= bs ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (new: [Tal]: bs <= deg ^ 2)

D <= N1 * град

C <= bs * deg ^ 2 <= deg ^ 4

Гіпотеза чутливості полягає в тому, що s також є поліноміально пов'язаним з іншими параметрами.

Це питання вирішено!

$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

і навіть

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

Обидва розділення є оптимальними до коефіцієнтів журналу!