Поясніть тензорну інтерпретацію статті Деолілікара Гурвіца

[Примітка. Я вважаю, що це питання жодним чином не залежить від правильності чи некоректності статті Деолалікара.]

У блозі Скотта Ааронсона Shtetl Optimized , під час дискусії про недавню спробу Деолалікара на П проти НП, Леонід Гурвіц зробив наступний коментар :

Я намагався зрозуміти / переформулювати підхід, і ось моя, можливо, дуже мінімалістична спроба: дискретні ймовірнісні розподіли в роботі можуть розглядатися як тензори, або дуже спеціальні багатолінійні многочлени. Припущення "P = NP" якимось чином дає (полінома?) Верхню межу тензорного рангу. І нарешті, використовуючи відомі ймовірнісні результати, він отримує незрівнянну (експоненціальну?) Нижню межу того ж рангу. Якщо я маю рацію, то цей підхід є дуже розумним, в хорошому сенсі елементарним, способом просунути попередні алгебраїко-геометричні підходи.

Незважаючи на підозрювані / відомі вади у доказі Деолікаліка, мені цікаво:

Яким способом можна розглядати розподіли, обговорені в статті Деолікаліка, як тензори, і як твердження про його результати (незалежно від їх правильності) перетворюються на твердження про тензорні ранги?

[Я читав щось, що мені здавалося абсолютно не пов'язаним, а потім мав "ага момент", тому я думаю, що я зрозумів принаймні частину відповіді. Я не впевнений, що це на увазі Гурвітс, але це має для мене сенс.]

Розподіл на n двійкових змінних можна розглядати як елемент тензорного добутку (n факторів) ( насправді пов'язаний проективний простір, але ми дістанемося до цього). Якщо ми позначимо основні елементи кожної копії за таR 2 ⊗ ⋯ ⊗ R 2 R 2 | 0 ⟩ | 1 $x_1,...,x_n$$\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^2$$|0\rangle$$|1\rangle$, то основа цього простору тензорного продукту задається набором усіх n-бітних рядків. Якщо у нас є елемент цього тензорного добутку, коефіцієнти якого дорівнюють 1, то ми можемо інтерпретувати коефіцієнт будь-якого заданого n-бітного рядка як ймовірність виникнення цієї рядки - звідси, розподіл ймовірності! Тепер, оскільки ми хочемо лише розподілу ймовірностей (коефіцієнти, що дорівнюють 1), ми можемо нормалізувати будь-який вектор тензорного добутку, щоб мати цю властивість. Розглядаючи лише нормалізовані тензори, ми дійсно лише розглядаємо елементи проективного простору цього тензорного добутку.

Тепер ми повинні підключити тензор-рангову до поняття Деолікаліка про полілогічну параметризаційність. Відповідно до цієї сторінки Террі Тао, схоже, що поняття Деолікарика щодо полілогічно-параметризованості полягає в тому, що розподіл може бути "враховано в потенціалах" як де pa (i) - це набір змінних polylog (n), визначених як "батьки i" та - це розподіл на який залежить лише від цих батьківських змінних. Більше того, спрямований графік батьків повинен бути ациклічним.ц ( х 1 , . . . , х п ) = Π п я = 1 р я ( х я ; х р ( я ) ) р я ( - ; х р ( я ) ) х $\mu$$\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$$p_i( - ; x_{pa(i)})$$x_i$

Почнемо з дуже простого типу розподілу. Припустимо, задовольняє для деяких розподілів (де залежить лише від ). Тоді, сподіваємось, зрозуміло, що відповідним тензором є тензор рангу 1: .ц ( х 1 , . . . , х п ) = Π п я = 1 р я ( х я ) р я р я х я ( р 1 ( 0 ) | 0 ⟩ + р 1 ( 1 ) | 1 ⟩ ) ⊗ ⋯ ⊗ ( p n ( 0 ) |$\mu$$\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$$p_i$$p_i$$x_i$$(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

Для трохи складнішого розподілу, припустимо, ми хочемо розглянути рівномірний розподіл по рядках, де (вони є запереченням один одного) для всіх . У інтерпретації Дао деолалікарською мовою Дао це був би параметризаційний розподіл . Тоді це відповідає тензору (потребує нормалізації). Якщо ми випишемо це повністю, він містить термінів, і тому тензорний ранг має щонайбільше над . Однак, над я Про ( 1 ) ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ) ⊗ ⋯ ⊗ ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ) 2 п / 2 2 п /$x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$$i$$O(1)$$(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$ , він має тензор-ранг 1! Я вважаю, що останній факт відповідає тому, що факторизація може бути описана числами - для кожної пари сусідніх біт, для кожної з сусідніх пар. Значно менші, ніж дійсних чисел, необхідних теоретично для довільного розподілу mu на булевій кубі.$O(n)$$O(1)$$O(n)$$2^n$

У мене все ще виникають проблеми з формулюванням двох питань, і я буду вдячний за подальші відповіді на них:

• Зробити останню кореспонденцію точною
• Списання формул для тензора, що відповідає полілогічно-параметризованому розподілу, та отримання верхньої межі його ранжу.