Запит на довідку: субмодульна мінімізація та монотонні булеві функції

Передумови: У машинному навчанні ми часто працюємо з графічними моделями, щоб представити функції високої щільності ймовірності. Якщо відкинути обмеження, що щільність інтегрується (суми) до 1, ми отримаємо ненормалізовану графічну структуру енергетичної функції .

Припустимо, у нас є така енергетична функція $E$ , визначена на графіку $G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$ . Існує одна змінна $x$ для кожної вершини графіка, і є реальні значення одинарних та парних функцій, $\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$ та $\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$ , відповідно. Повна енергія тоді

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

Якщо всі $x \in \mathbf{x}$ є двійковими, ми можемо вважати $x$ як вказівку на встановлену приналежність і лише з невеликим зловживанням термінологією говорити про субмодулярність. У цьому випадку енергетична функція є субмодульною iff $\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

Здається, існує зв'язок між мінімізацією функції субмодулярної енергії та монотонними булевими функціями: якщо ми знизимо енергію деяких для будь-якого (тобто збільшимо його перевагу як "істинне"), то оптимальне призначення будь-якої змінної може змінюватися лише від 0 до 1 ("false" на "true"). Якщо всі обмежуються як 0 або 1, то маємомонотонні булеві функції:$\theta_i(x_i=1)$$x_i$$x_i^* \in \mathbf{x}^*$$\theta_i$$|\mathcal{V}|$

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

де як вище, .$\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

Запитання: Чи можемо ми представити всі монотонні булеві функції за допомогою цієї установки, змінюючи парні терміни, ? Що робити, якщо ми дозволимо бути довільною субмодулярною енергетичною функцією? І навпаки, чи можемо ми представити всі субмодульні задачі мінімізації як набірмонотонні булеві функції?$\theta_{ij}$$E$$|\mathcal{V}|$

Чи можете ви запропонувати посилання, які допоможуть мені краще зрозуміти ці зв’язки? Я не теоретик-теоретик, але я намагаюся зрозуміти, чи є уявлення про монотонні булеві функції, які не охоплені мисленням в умовах субмодулярного мінімізації.

Наскільки я розумію, субмодулярний мінімізаційний випадок охоплює все, що можна сказати, про монотонний булевий випадок, а двійкові субмодулярні булеві функції можуть виражати всі субмодулярні булеві функції. Однак якщо домен не булевий, то бінарних субмодульних функцій недостатньо для вираження всіх субмодульних функцій, навіть якщо можуть бути введені приховані змінні. (Вибачте, якщо я пропустив тонкощі у вашому точному формулюванні проблеми.)

У цій приємній роботі обговорюється найсучасніший документ, який містить багато посилань на пов'язані з цим роботи, а також робить посилання на комп'ютерне бачення досить явними:

• Станіслав Живні, Девід А. Коен, Пітер Г. Джевонс, Експресивна сила бінарних субмодульних функцій , 157 3347–3358 DAM , 2009. doi: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( препринт )

Якщо ваше наступне питання стосується наближення, цей останній документ розгляне версію наближення:

• Доріт С. Хохбаум, Субмодульні задачі - наближення та алгоритми , arXiv: 1010.1945

Редагувати: фіксоване посилання.