Проблема розділення ребер на кубічних графіках

Чи вивчена складність наступної проблеми?

Введення : кубічний (або $3$ -регулярний) графік , природна верхня межа$G=(V,E)$$t$

Запитання : чи є розділ на частини розміром таким, що сума замовлень (необов'язково підключених) відповідних підграфів не більше ?$E$$|E|/3$$3$$t$

Супутня робота У літературі я знайшов досить багато робіт, які виявляють необхідні та / або достатні умови для існування розділу на деякі графіки, що містять три ребра, що так чи інакше пов'язане, а деякі інші з питань складності обчислювальних проблем, що перетинаються з вище (наприклад, розділ повинен давати , ізоморфні або , і жодна вага не пов'язана з даним розділом), але жоден з них не займався точно вказаною вище проблемою.$K_{1,3}$$P_4$

Перерахувати всі ці документи тут було б трохи нудно, але більшість з них або цитують, або цитують Дор і Тарсі .

20101024: Я знайшов цю статтю Goldschmidt et al. , які доводять, що проблема розподілу ребра графа на частини, що містять ребра AT MOST , таким чином, що сума порядків індукованих підграфов становить щонайбільше , NP-повна, навіть коли . Чи очевидно, що проблема залишається NP-повною на кубічних графах, коли нам потрібна сувора рівність wrt ?$k$$t$$k=3$$k$

Додаткова інформація

Я спробував деякі стратегії, які не вдалися. Точніше, я знайшов кілька зустрічних прикладів, які доводять:

• максимізація кількості трикутників не призводить до оптимального рішення; що я вважаю якось протиінтуїтивним, оскільки трикутники - це ті підграграфи з найнижчим порядком серед усіх можливих графіків на трьох ребрах;

• розподіл графіка на з'єднані компоненти також не обов'язково призводить до оптимального рішення. Причина, чому це здавалося перспективним, може бути менш очевидною, але в багатьох випадках можна помітити, що розміщення країв так, щоб з'єднати заданий підграф, призводить до рішення з меншою вагою (наприклад: спробуйте це в трикутнику з одним додатковим ребром, підключеним до кожного вершина; трикутник - одна частина, решта - друга, загальною вагою 3 + 6 = 9. Потім обмін двома краями дає шлях і зірку, загальною вагою 4 + 4 = 8.)

Ось пропозиція, як показати, що це важко. Я не знаю, працює це чи ні. Спочатку розглянемо ту саму проблему на мультиграфах. Твердість NP може бути легше довести там. Спробуйте зменшити з кубічного MAX CUT, який є важким навіть для приблизних оцінок (Берман та Карпінський "Про деякі більш жорсткі результати непридатності"). Розділіть кожен край на два і в кожній із нових вершин степеня-2 прикріпіть вершину з самокруткою. Чи відповідає ваш максимальний розділ максимальним скороченням?

-

Ось трохи більше пояснень.

(1) Проблема максимізації (кількість джерел + кількість раковин) над усіма орієнтаціями кубічного графіка пов'язана з MAXCUT деякою лінійною функцією. Це вимагає виявлення певної стійкості у відношенні між максимальними скороченнями та максимальними орієнтаціями на джерела та затоплення. В одному напрямку, при максимальному зрізі (U, V), ми можемо орієнтувати все ребро від U до V. Внутрішні краї E (U) утворюють відповідність, тому вони можуть бути орієнтовані довільно і аналогічно для E (V), і загальна кількість джерел і раковин - деяка лінійна функція розміру зрізу. В іншому напрямку, з урахуванням максимальної орієнтації на джерела і-мийці, розділ U = вершини ступеня 0 або 1, V = вершини ступеня 2 або 3 дають розріз.

(2) У кращому перетворенні, яке я описав вище, в оптимальній конфігурації кожна петля пофарбована так само, як і край поруч із нею, а вістря цього краю пофарбоване так само, як і деякі інші (не петлеві) краю біля що. Таким чином, кожен розрізаний край має один колір, що йде від його прикріпленої петлі, і один інший колір. Це відповідає орієнтації і застосовується (1).