Твердість наближення припускаючи NP! = CoNP

Двома загальними припущеннями для підтвердження твердості результатів апроксимації є та Unique Games Conjecture. Чи існують якісь тверді результати наближення, припускаючи ? Я шукаю проблему таку, що "важко наблизити всередині фактора якщо ".$P \neq NP$$NP \neq coNP$$A$$A$$\alpha$$NP = coNP$

Відомо, що "показник твердості NP для найкоротшої векторної проблеми означатиме, що ". Зауважте, що це "протилежність" тому, що я шукаю.$n$$NP = coNP$

Пояснення: Можливо, що і все-таки питання P проти NP є відкритим. Я шукаю твердість результату наближення, яка стане хибною, якщо але це не вплине (тобто, як і раніше залишається як гіпотеза) .$NP=coNP$$NP=coNP$$P \neq NP$

Ось пряме спостереження. Якщо ви припускаєте , то досить легко побачити, що існують проблеми оптимізації які не мають навіть певних алгоритмів недетермінованого наближення в певному сенсі.N $NP \neq coNP$$NP$

Наприклад, теорема PCP говорить про те, що ви можете перевести SAT в задачу розрізнити, чи задоволений пропозицій і чи задоволені всі пропозиції, для деяких . Припустимо, існує недетермінований алгоритм, який може розрізняти ці два випадки, в тому сенсі, що недетермінований алгоритм може звітувати в кожному шляху обчислення або "всі задоволені", або " ", і він говорить "щонайбільше "у деякому шляху, якщо максимум може бути задоволений, інакше він говорить" всі задоволені "в кожному обчислювальному шляху, якщо всі рівняння можуть бути задоволені. Цього цілком достатньо, щоб визначити SAT в ,ε > 0 1 - ε 1 - ε 1 - ε c o N P N P = c o N P P = N $1-\varepsilon$$\varepsilon > 0$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$coNP$$NP=coNP$. Здається зрозумілим, що існування такого недетермінованого алгоритму не має ніякого відношення до того, чи .$P = NP$

Цілком правдоподібно, що існує більш "природний" сценарій: проблема оптимізації, яку важко наблизити в детермінованому поліномійному часі під але, як відомо, не важко під . (Це, мабуть, те, що ви насправді хотіли запитати.) Багато твердості результатів апроксимації спочатку доводиться за деяким більш сильним припущенням (наприклад, не в субекспоненціальний час, або не в ). У деяких випадках пізніші вдосконалення послаблюють необхідне припущення, іноді аж до . Тож є надія, що відповідь на ваше запитання є дещо задовільнішою, ніж ця. Важко задатись питанням, як могла виникнути проблема$NP \neq coNP$$P \neq NP$$NP$$NP$$BPP$$P \neq NP$не можна довести важку апроксимацію в детермінованому полімережі під , але це може бути важко під . Це означатиме, що розповідає нам щось про детерміновані обчислення, про які вже не говорить; інтуїтивно це важко зрозуміти.$P \neq NP$$NP \neq coNP$$NP \neq coNP$$P \neq NP$

Відмова: це не пряма відповідь.

Насправді існує набагато більше умов твердості, крім P! = NP та UGC. Девід Джонсон написав чудову колонку для трансакцій з алгоритмів ще в 2006 році саме з цього питання. Він перелічує численні різні припущення, які використовуються для виявлення твердості та те, як вони співвідносяться між собою.

На жаль, це все NP проти детермінованих класів (за винятком NP та co-AM). NP проти ко-NP взагалі не висвітлюється.

P ≠ N P N P ≠ c o N P P ≠ N P P ≠ N P N P ≠ c o N $NP \ne coNP$ є більш сильною гіпотезою, ніж оскільки означає . Отже, будь-яка твердість результату наближення, припускаючи, що , також випливає з припущення .$P \ne NP$$NP\ne coNP$$P\ne NP$$P\ne NP$$NP\ne coNP$

Це не пряма відповідь

k-проблема -повна. За припущенням, що , k-Choosability суворо важче, ніж k-Coloring на загальних графах. Тому наближення хроматичного числа списку суворо складніше, ніж хроматичне число. Відомо, що k-забарвлення тривіальна для двопартійних графіків. Однак визначення списку хроматичного числа двосторонніх графіків є твердим. (навіть 3-вибір - -комплект) N P ≠ c o N P N P ∏ P $\prod_2^P$$NP \ne coNP$$NP$$\prod_2^P$

Нога Алон, Обмежене забарвлення графіків