Характеристика з фіксованою глибиною

Це питання про складність схеми. (Визначення знаходяться внизу.)

Яо і Бейгель-Таруї показали, що кожне сімейство ланцюгів розміром має еквівалентне сімейство схем розміром глибини дві , де вихідний затвор є симетричною функцією, а другий рівень складається з ворота вентилятора в. Це досить чудовий "глибинний колапс" сімейства ланцюгів: із схеми глибини 100 ви можете зменшити глибину до 2, лише квазіполіномальний вибух (і один фантазійний, але все ще обмежений хвірт вгорі). $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$

Моє запитання: чи існує відомий спосіб виразити сімейство ланцюгів аналогічно? Більш амбітно, як щодо сімейства ланцюгів ? Потенційні відповіді мали б такий вигляд: "Кожен ланцюг розміру може бути розпізнаний за допомогою сімейства розмірів глибини-дві , де вихідний затвор є функцією типу а другий рівень затворів має тип " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

Він не повинен бути глибиною дві, будь-який результат з фіксованою глибиною був би цікавим. Доведення, що кожен ланцюг може бути представлений на глибині 3 ланцюгом, що складається лише з симетричних воріт функції. $TC^0$

Деякі незначні спостереження:

Якщо відповідь тривіальна для будь-якої булевої функції (ми можемо висловити будь-яку функцію , як з с). Для конкретності вимагаємо . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
Відповідь також тривіальна, якщо дозволено або бути довільною функцією, обчислюваною в ... :) Мені, очевидно, цікаві "простіші" функції, що б це не означало. Це дещо слизько визначити, тому що є симетричні сімейства функцій, які є незрівнянними. (Є одинарні мови, які є незаперечними.) Якщо вам подобається, ви можете просто замінити і на симетричні функції у виписці, однак мені було б цікаво будь-який інший акуратний вибір воріт. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Тепер для коротких спогадів про позначення:

$ACC^0$ - це клас, розпізнаваний сімейством необмежених вентиляторів в контурах постійної глибини з воротами , і для постійної незалежно від розміру ланцюга. воріт повертає тоді і тільки тоді сума його входів ділиться на . $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ - клас, розпізнаваний за ланцюгами постійної глибини з воротами без обмеженого вентилятора. $MAJORITY$

$NC^1$ - клас, розпізнаваний по логарифмічних глибинних ланцюгах із , , воротами обмеженого вентилятора. $AND$ $OR$ $NOT$

Відомо, що коли розмір ланцюга обмежується поліномом у кількості входів.) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Райан Вільямс
джерело

Зауважимо, що ланцюг глибини

полінома розміром

що складається з симетричних воріт, може обчислюватися за схемою глибини

полінома, що складається з воріт MAJ. (Тут як звичайний розмір - кількість проводів). Отже, ви в основному запитуєте, чи можна зменшити глибину

до себе?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Так, це один із способів дивитися на це! Взагалі я шукаю будь-які цікаві імітації з фіксованою глибиною

або

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Райан Вільямс

Райан, я не бачу, яку відповідь ти шукаєш тут. Якщо ви справді говорите про симетричні ворота, то (оскільки їх можна імітувати більшістю на дві глибини), ваше питання рівносильний краху TC0 на постійну глибину (можливо, з деяким легким надполіномальним збільшенням розмірів) - добре відомий відкрита проблема. Якщо ви готові «відпочити» симетрією, то результат Баррінгтона здається настільки ж хорошим, на скільки ви можете сподіватися?

— Ноам

@Noam: я хотів би дізнатися, чи є ще якісь цікаві відповіді; якщо їх немає, то я дам 300 Лансу. Існують також проміжні можливості, наприклад, три схеми глибиною з симетричною функцією на виході, але не обов'язково симетричні на двох інших шарах. У будь-якому випадку, змусити вас подумати про це протягом 5 хвилин - це вже коштує 300 винагород.

— Райан Вільямс

І тепер (після 8 листопада) ми знаємо походження цього питання ...

— slimton

Відповіді:

Ось невелике розширення мого коментаря до відповіді Боаза. Аграваль, Аллендер і Датта у своїх роботах про , та арифметичні схеми $TC^0$ $AC^0$ дають характеристику з точки зору арифметичних схем. А саме вони показують, що мова знаходиться в якщо і тільки є функція в і ціле число таке, що $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

тоді і тільки тоді, коли . $x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

Зауважимо , що являє собою особливу форму постійної глибини арифметичної схеми над (тільки константи 0 і 1 дозволені, і змінні входи можуть бути або ). $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

З огляду на те, що, як вказує Боаз у своїй відповіді, існує нетривіальне зменшення глибини для арифметичних схем, це може бути на що слід звернути увагу.

— Крістофер Арнсфельт Хансен
джерело

Теорема Баррінгтона повинна отримати вам мікросхеми глибини-3 для з верхніми воротами, що не надто дивно (помножує 5 циклів). $NC^1$

— Ленс Фортнов
джерело

Я згоден, що теорема Баррінгтона передбачає тут щось цікаве. Але цей вихідний хвірт - це дуже «несиметрична» функція :)

— Райан Вільямс,

Насправді здається, що ви отримуєте ланцюг глибини 1 ... Представляючи перестановку як (скажімо) булеву матрицю 5x5, це просто проекції на ворота перемноження перестановки.

— Ноам

Я не знаю відповіді, і гадаю, це відкрите питання. Є дуже мало відомих прикладів таких "дивовижних симуляцій", подібних до Яо / Бейгель-Таруї та Баррінгтона. Одне з цих напрямків, яке виникає на увазі, є результатом Валіанта, що для кожного який можна обчислити за схемою -depth -size, існує в що узгоджується з на $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ входів. (І якщо схема длявикористовує лише лінійні операції, ніж схема для, що призводить до з'єднання жорсткості нижньої межі / матриці). Але на відміну від це стосується функцій з декількома виходами, а також лише для лінійних розмірів схем. Зауважимо також, щоарифметичні схеми відомінетривіальним зниженням до глибини 4. $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Боаз Барак
джерело

Цікаво, що існує також характеристика

з точки зору арифметичних схем: cse.iitk.ac.in/users/manindra/other/…

T C^{0}

$TC^0$

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Зменшення арифметичного кола до глибини 4 - ще один хороший приклад. Я знаю , доблесні показав , що ви можете вирізати

провід будь-якого лінійного розміру, лог-глибина контур , так що залишилася схема має тільки

глибини. Я думаю, це тягне за собою "

що погоджується з

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

— Райан Вільямс

Крістоффе, чи можете ви додати своє посилання як окрему відповідь? Дякую!

— Райан Вільямс

@Ryan Так, фіксуючи ці

дроти до типового значення, ми бачимо, що решта ланцюга (де кожен вихід залежить від не більше

входів) узгоджується з вихідною функцією на

входах.

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$

— Боаз Барак