Справжня бітова Складність множення матриці дорівнює

Матричне множення, використовуючи звичайну техніку внутрішній добуток рядків - стовпців множення множинних доданків додавання . Однак якщо вважати записи однакового розміру (кількість бітів у кожному записі обох матриць, що множиться) розміром біт, операція додавання насправді відбувається на бітах .$O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

Отже, здається, що справжня складність множення матриці, якщо вимірювати її через складність бітів, повинна бути .$O(n^{4})$

$(1)$ Це правильно?

Якщо припустити, що якщо створити алгоритм, який зменшує складність бітів до а не загальних множень та доповнень, це може бути більш підходящим підходом, ніж скажімо, зменшення загального множення та додавання до як намагалися дослідники, такі як Копперсміт та Кон.$O(n^{3+\epsilon})$$O(n^{2+\epsilon})$

$(2)$ Це вірний аргумент?

Ні, бітова складність множення матриці на бітових записах становить , де - найкращий відомий показник множення матриці. Множення та додавання бітових чисел можна здійснити за рази. Множення двох -розрядним чисел дає число , яке має не більше біт. Додаючи чисел біт кожен, виходить число, яке має не більше біт. (Подумайте про це: сума становить не більше , тому бітове представлення займає не більше$M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$$M$$M+\log n+O(1)$$n 2^M$$\log (n 2^M)+O(1)$ біт.)

Посилання на швидкі цілі алгоритми множення можна знайти за допомогою веб-пошуку або вікіпедії.