Складність шестигранника з випадковим порядком повороту.

Я думав про варіант шестигранника , де замість того, щоб два гравці робили ходу по черзі, кожен поворот гравця, вибраного навмання, робить хід. Наскільки важко визначити шанси на перемогу кожного гравця? Ця проблема, очевидно, є в PSPACE, але чи не може вона бути важкою для NP, тим більше PSPACE-повною. Труднощі пов'язані з тим, як випадковість унеможливлює примушування гравця до вибору серед варіантів; якщо гравцеві пощастить, він отримує достатньо ходу, два приймають обидва варіанти, а якщо гравцю не пощастило, опонент отримує достатньо рухів, щоб заблокувати обидва варіанти. З іншого боку, я не можу придумати жодних алгоритмів поліноміального часу для цього.

cc.complexity-theory board-games

— Ітай-бар-Натан
джерело

Нехай S - n-розрядний двійковий рядок, який представляє, хто з гравців йде на поворот. У гіршому випадку ви відновите стандартну шістнадцяткову гру, якщо випадкова послідовність дорівнює 010101 ... або 101010 .... Отже, ваша проблема як мінімум така ж жорстка, як і стандартна шестигранна.

— Мохаммед Аль-Туркстані

Існує дві можливі інтерпретації цієї гри. (1) Незадовго перед кожним кроком гравці перегортають монету, щоб визначити, хто йде далі. (2) На початку гри гравці перевертають монету рази (на дошці розміром ) і використовують цю послідовність для своїх поворотів. Тюркстані, здається, приймають модель (2); оригінальне запитання неоднозначне, але з деяких його формулювань я б припустив, що Ітай запитує про (1), що може бути простіше, ніж стандартний шістнадцятковий.

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— Пітер Шор

Дійсно, я маю на увазі перше тлумачення, що монета перевернута прямо перед переїздом. Крім того, я помітив ще одну неоднозначність у своєму питанні: точність, у якій я хочу знати ймовірність. Хоча враження, які я залишив, задаючи проблему, полягає в тому, що я хочу знати ймовірність у повній точності, але я хочу знати лише ймовірність в логарифмічній точності. Як і різниця між ПП та БПП, пізніші здаються більш корисними та природнішими.

— Itai Bar-Natan

@Itai: Ще одне питання. Чому ви стверджуєте, що це, очевидно, в PSPACE? Мені здається, це реферована гра, що означало б, що верхня межа теоретичної складності - ЕКСПЕТ. Дивіться Фейге та Кіліана, "Зробити ігри короткими".

— Пітер Шор

@tukistany Useless НЕ означає тривіального!

— Jeffε

Можливо, ви захочете подивитися на статтю "Случайні повороти шестигранників та інші ігри відбору" Ювала Переса, Одіда Шрамма, Скотта Шеффілда та Девіда Уілсона. Зі вступу:

"Hendom Random-Turn Hex - це те саме, що і звичайний Hex, за винятком того, що замість чергування оборотів гравці кидають монету перед кожним ходом, щоб вирішити, хто потрапить на наступний камінь. Хоча звичайний Hex важко проаналізувати, оптимальна стратегія для Random -Повернути Hex виявляється дуже просто ".

Так справді, ваша інтуїція була правильна: це буде в BPP (а може, і P).

— Петро Шор
джерело

Я просто вражений, що люди насправді працювали над цим :) Приємна довідка!

— Суреш Венкат

Це теж приємний доказ. Я думаю, що я чув, як Скотт Шеффілд згадував про це в одному зі своїх переговорів (але тоді я повністю забув про це, поки він не з’явився в Google).

— Пітер Шор

Також на веб-сайті Девіда Уілсона фактично є додаток, який дозволяє грати в Hex з випадковим поворотом (я вважаю, опублікована стратегія): dbwilson.com/#software

— Енді Друкер

Під час свого останнього візиту до Ізраїлю, натхненного документом PSSW, Одід Шрамм і я зіграли досить багато раундів у шахи з випадковим поворотом, щоб зрозуміти, що це не особливо цікава гра.

— Гіл Калай

Виявляється, існує чудовий зв’язок (завдяки Девіду Річману) між іграми з випадковим поворотом та іграми на торги , де гравці подають заявку на наступний хід; см arxiv.org/pdf/0812.3677.pdf і users.math.yale.edu/~sp547/pdf/Discrete-bidding-games.pdf Це з'єднання дозволяє істотно оптимальної грою торгів Hex, використовуючи роботу Пересом і ін. Мені це подобається, тому що ставки на ігри, принаймні, начебто, не мають удачі, і я думаю, що виставити торги Hex було б більш задоволенням, ніж Hex з випадковим поворотом. (Однак, виставлення торгів на кожному кроці може бути дивно складним завданням.)

— Енді Друкер