Найменша кількість воріт для множення

Який найкращий результат для кількості воріт у ланцюзі, що множать два n-бітні цілі числа?

Очевидний метод породжує ворота . Є кращі підходи із та . $\theta(n^2)$ $\theta(n\log n \log\log n)$ $\theta(n\log n2^{\log^*(n)})$

Я не зміг знайти жодного сімейства булевих схем, який би міг обробляти множення за допомогою воріт. Цікаво, чи існує така сім'я схем. $n\log n$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Амір
джерело

Ви шукаєте арифметичну схему чи булеву схему?

— Суреш Венкат

Я шукаю булеву схему.

— Амір

для запису, що таке

O (n \log n)

$O(n \log n)$ алгоритм? не хотів би використовувати стільки воріт?

— vzn

@vzn Ні, алгоритм Мартіна Фюрера є найвідомішим, і він дає схему з

O (n \log n 2^{\log^{*} n})

$O(n\log n 2^{\log^* n})$ ворота. Schonhage-Strassen насправді використовується в деяких комп'ютерних алгебрах для дуже великої кількості.

— Сашо Ніколов

Існує деякий наклад, щоб перетворити TM на ланцюг. Час

t (n)

$t(n)$ алгоритм дверей не дає схеми з

t (n)

$t(n)$ ворота. Загальний переклад не може бути кращим, ніж складність ланцюга проблеми значення значення ланцюга. З іншого боку, найкраща рівномірна складність не передбачає нижньої межі складності ланцюга, оскільки є накладні також у зворотному напрямку, тобто можуть бути контури розміру

O (n \lg n)

$O(n\lg n)$ навіть якщо немає ТМ з тим часом роботи для множення.

— Kaveh

Нижче представлено докладне опитування 2008 року, яке охоплює основні теоретичні алгоритми множення, включаючи ті, які обговорювались у коментарях до вашого запитання (включаючи алгоритм Шенгаге – Страссена та $O(n\log n \, 2^{\log^* n})$ Алгоритм Фюрера, див. Стор. 335 опитування). Однак реалізація - це інша справа, і деякі з цих алгоритмів можуть не вважатися практичними; опитування не охоплює практичних реалізацій. Хоча опитування включає алгоритми для поліномів, рядів потужностей, дійсних чисел та 2-адичних чисел, цілі числа є окремим випадком їх (див. Малюнок 1 на сторінці 336).

Швидке множення та його застосування , Бернштейн (Алгоритмічна теорія чисел / Публікації MSRI / Том 44, 2008)

— взн
джерело

У зв'язаному папері немає сторінок 335 чи 336. Можливо, ви мали на увазі посилання на інший файл?

— argentpepper

ой! THX для наконечника. вище версія позначена як чернетка. ця версія з цитованими pg #s, можливо, остаточна?

— vzn

@vzn:

$\:$ Навіть у цьому папері є великий-O навколо

\log^{*} (n)

$\log^*(n)$ .

$\;\;\;\;$