Чи є у нас якісь нетривіальні рівномірні схеми?

Враховуючи алгоритм, що працює в часі , ми можемо перетворити його в "тривіальне" сімейство однорідних схем для однієї і тієї ж задачі розміру не більше . $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

З іншого боку, можливо, у нас є набагато менші рівномірні схеми для цієї проблеми, навіть якщо є оптимальним часом роботи. Схеми можуть генерувати довше, ніж , але вони малі. $t(n)$ $t(n)$

Але чи насправді ми знаємо, як будувати такі речі? Я думаю, що початкове запитання - це

(1) Чи є у нас конструктивні приклади нетривіальних однорідних схем, тобто рівномірних схем, розмір яких менший за найвідоміший час роботи будь-якого алгоритму для тієї ж проблеми?

Тепер я вважаю, що якщо проблема є в , то у нас є алгоритм експоненціального часу для пошуку оптимальних схем за допомогою вичерпного пошуку: Дано , ми записуємо відповіді на всі входів (зайняття часу ); то перераховуємо всі схеми на входах у збільшенні розміру, поки не знайдеться одна, яка дає всі правильні відповіді. Пошук завершується на будь-якому розмірі тривіального перетворення, $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ , або таблиця правдивості функції, якщо виходи дорівнюють . (Редагувати: Томас вказує, що пов'язана через Шеннона / Лупанова.) $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

Отже, у нас є незадовільне "так" для запитання (1): Візьміть мову, важку для будь-якого часу, що перевищує , але все-таки вирішувану; вищевказана процедура виводить таблицю істинності розміром . $2^n$ $2^n$

Тож слід уточнити питання (1). Я думаю, два найцікавіші випадки

(2) Чи є у нас конструктивні приклади нетривіальних однорідних схем поліноміальних розмірів ? (Навіть якщо вони породжуються дуже повільними алгоритмами.)

(3) Чи є у нас якісь конструктивні приклади нетривіальних однорідних схем, що генеруються у поліномій-часі , однорідних схем поліноміального розміру?

Це може бути занадто багато, щоб запитати. Як щодо легшого запитання: чи ми навіть знаємо, що таке можливо? Можливо, не існує нетривіальних рівномірних схем?

(4) Чи відомо, що таке твердження є хибним для будь-якого ? (Редагуйте: , дякую Томасу.) "Якщо мова має рівномірні схеми розміром , то вона також має алгоритми, що працюють у часі . " (Якщо так, то що робити, коли "рівномірний" замінюється на "поліноміально-часовий-рівномірний", "форменний формат журналу" тощо?) $s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

Нарешті, якщо вищезазначені питання занадто важкі,

(5) Чи є у нас побудови однорідних сімей ланцюгів, які не є просто перетворенням алгоритмів у схеми (або записування таблиці правдивості)?

Постскрипт. Експерт, якого я запитав про цю згадану книгу "Про середні однорідності та нижчі межі ланцюга" ( pdf ), Сантанам і Вільямс 2013, яка, можливо, є найбільш тісно пов'язаною роботою, але це доводить нижчі межі (що багаточастотні генераторні схеми не є занадто потужний). Мене зацікавить будь-яка інша пов’язана робота!

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— усул
джерело

1,2,3,4: Функція тотожності. 5. мені незрозуміло, що ви маєте на увазі під "перетворенням алгоритмів у схеми", ми завжди можемо перетворити рівномірний ланцюг у машину Тьюрінга (з невеликою накладними витратами).

— Каве

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

@Kaveh: Як відповідає функція ідентичності 1-4?

— Джошуа Грохов

@ Джошуа, ми можемо безпосередньо описати рівномірний контур (дроту) розміром O (n), який кращий, ніж перетворення машини Тюрінга для ідентичності в ланцюг.

— Kaveh

Моя думка, є важливі невеликі деталі, про які нам потрібно подбати, щоб відповісти на питання. Інший приклад: BPP знаходиться в P / poly і перетворення обчислюється. Якщо генерація ланцюга виконана за допомогою ефективного алгоритму, поєднання його зі значенням ланцюга дасть ефективну ТМ. Концептуально схема та ТМ обчислюють один і той же алгоритм. Те, що розмір і час можуть точно не відповідати нормальним, вони визначаються для різних моделей обчислень, і ми знаємо, що вони не відповідають. Можливо, час відповідає більше глибині, ніж розміру.

— Kaveh

Ось відповіді на ваші два останні запитання.

(5) Сортувальні мережі - це рівномірні схеми, які сортуються так само швидко, як найкращі алгоритми оперативної пам'яті, але, безумовно, не є лише перетвореннями алгоритмів оперативної пам'яті (наприклад, швидкості). [ AKS83 , G14 ]

$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ $s(n) = o(2^n/n)$

Це цікаве питання; Сподіваюся, хтось може відповісти (1) - (3).

— Томас підтримує Моніку
джерело

Дякую, ви маєте рацію, я інтуїтивно хотів виключити цей "верхній" випадок, але не знав правильної асимптотики. Я редагував питання, щоб включити цю справу.

— usul