Пояснення класів P та NP за допомогою лямбда-числення

У вступі та поясненні класи складності P і NP часто даються через машину Тьюрінга. Однією з моделей обчислення є лямбда-числення. Я розумію, що всі моделі обчислень рівноцінні (і якщо ми можемо ввести що-небудь в терміни машини Тьюрінга, ми можемо ввести це в термінах будь-якої моделі обчислення), але я ніколи не бачив пояснення ідеї класів складності P і NP через лямбда-числення . Чи може хтось пояснити поняття класів P та NP складності без машини Тьюрінга та лише з обчисленням лямбда як моделі обчислення.

— Симплекс
джерело

Їх обчислювальна потужність еквівалентна лише функціям над натуральними числами, а не вищими типами чи іншими параметрами.

— Каве

Тюрінг повноти іноді є більш теоретичним поняттям для виявлення зв'язку, але більш застосовані "перетворення" між повноцінними системами ТМ не завжди фактично здійснюються на практиці, тобто його іноді більше про докази існування ...

— vzn

Відповіді:

Машини Тьюрінга і $\lambda$ -розрахунки еквівалентні лише wrt функціям $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ вони можуть визначити.

З точки зору складності обчислень, схоже, вони поводяться по-різному. Основна причина, по якій люди використовують машини Тьюрінга, а не $\lambda$ -розрахунок, щоб міркувати про складність, полягає в тому, що використання $\lambda$ -калькуляції наївно призводить до нереальних заходів складності, тому що ви можете копіювати терміни (довільного розміру) вільно за один $\beta$ крок зменшення, наприклад $(\lambda x.xxx)M \rightarrow MMM.$ Іншими словами, поодинокі кроки зменшення у $\lambda$ -калькуляція - це хитра модель витрат. На відміну від цього, окремі кроки скорочення машини Тьюрінга чудово працюють (в сенсі є хорошими прогнозами виконання програми в реальному часі).

Невідомо, як повно відновити звичайну теорію складності, засновану на Тьюрінга, у $\lambda$ -рахунку. У недавньому (2014 р.) Прориві Accattoli та Dal Lago вдалося показати, що великим класам складності за часом, таких як $P$ , $NP$ і $EXP$ можна надати природну формулу $\lambda$ числення. Але менші класи, як $O(n^2)$ або $O(n \, log\, n)$ не може бути представлена за допомогою методів Accattoli / Dal Lago.

Як відновити звичайну просторову складність за допомогою $\lambda$ -калькуляції, невідомо.

— Мартін Бергер
джерело

Тут я відчуваю потребу уточнювати: немає спеціальної "техніки", яку "Аскатолі" та "Даль Лаго" використовують для "представлення" часових класів. Презентація є "наївною": визначте

як клас мов, який можна визначити за

-терміною у

ступінь зменшення, за будь-якої стандартної стратегії скорочення ( наприклад, крайній зліва -вище). Accattoli і Dal Lago показали, використовуючи методи, що виходять з лінійної логіки, що існує поліном

такий, що

λ T I M E (f (n))

$\lambda TIME(f(n))$

λ

$\lambda$

f (n)

$f(n)$

β

$\beta$

p

$p$

λ T I M E (f (n)) = T I M E (p (f (n))

$\lambda TIME(f(n))=TIME(p(f(n))$

— Даміано Мацца

@DamianoMazza Так, я маю на увазі те, що я не думаю, що методи, що використовуються для показу цього результату, не можуть використовуватися для показу, наприклад,

λ T I M E (n^{2}) = T I M E (n^{2})

$\lambda TIME(n^2) = TIME(n^2)$

— Мартін Бергер

Добре, я бачу. Власне, я здогадуюсь, що

: класи складності, такі як

або

, не є надійними , не можна очікувати, що вони будуть стабільними при змінах обчислювальної моделі (це, як відомо, так, навіть якщо ми дотримуємось машин Тьюрінга, наприклад, односмугових проти багатосмугових).

λ T I M E (n^{2}) \neq T I M E (n^{2})

$\lambda TIME(n^2)\neq TIME(n^2)$

T I M E (n^{2})

$TIME(n^2)$

T I M E (n \log n)

$TIME(n\log n)$

— Даміано Мацца

@DamianoMazza Я погоджуюсь, як і за розміром обраного алфавіту. Але алгоритм, що працює у

на

-стрічці, може бути імітований у

на 1-стрічковому верстаті, скромному квадратичному вибуху. Що таке поточний переклад Accattoli та Dal Lago's? Я не пам'ятаю, якщо вони прямо заявляють про це.

f (n)

$f(n)$

n

$n$

5 k f^{2} (n)

$5kf^2(n)$

— Мартін Бергер

@Jake У цитованому документі обговорюється бета-нормалізація (див. Сторінку другу). Подібні результати були відомі й для інших форм скорочення, наприклад, слабке зменшення (тобто за замовчуванням за вартістю) - див. Dal Lago & Martini, 2008 (обговорюється в цій роботі та в cstheory.stackexchange.com/a/397/989 ).

— Blaisorblade

Я вставляю частину відповіді, яку я написав на інше запитання :

Неявна обчислювальна складність спрямована на характеристику класів складності за допомогою виділених мов. Перші результати, такі як теорема Беллантоні-Кука, були викладені з точки зору -рекурсивних функцій, але в останніх результатах використовуються словниковий запас і методи -рахунку. Дивіться це коротке вступ до непередбачуваної обчислювальної складності для більшої кількості та покажчиків, або про розробки семінарів DICE . $\mu$ $\lambda$

Існують характеристики (принаймні) за допомогою -рахунку. $\mathsf{FP}$ $\lambda$

— Бруно
джерело

Я не знаю, чи відповідає це (частина) вашого запитання, але чи існують альтернативні характеристики класів складності (особливо $\mathbb{P}$ і $\mathbb{NP}$ ) з точки зору логіки (логіка 1-го порядку, логіка 2-го порядку тощо).

Наприклад, робота по Р. Fagin ( і ін.) У цій області відрізняється (і ІМО може дати уявлення , пов'язане з $\mathbb{P}$ проти $\mathbb{NP}$ питання і відносин з описової і алгоритмічної складністю)

Деякі подальші характеристики класів обчислювальної складності з точки зору алгоритмічної (Колмогорова-Соломонова) складності можна знайти (наприклад) тут і тут .

— Нікос М.
джерело