"Крихітний" графік Ізоморфізм

Розмірковуючи про складність тестування ізоморфізму асиметричних графіків (див. Моє відповідне питання про теоретичну теорію), мені спало на думку додаткове запитання.

Припустимо, у нас є многочлена машина Тьюрінга яка на вході формує графік з вузлами. $M$ $1^n$ $G_{M,n}$ $n$

Ми можемо визначити проблему : $\Pi_M$

("Крихітний" GI): Дано графік $G=(V,E)$ , чи $G$ ізоморфний $G_{M,|V|}$ ?

Іншими словами , ми повинні порівняти даний графік з «опорним» графа того ж розміру , що генерується фіксованим многочленом часу машини Тьюринга $M$ .

Для всіх поліноміальних Тьюринга машини $M$ , ми маємо $\Pi_M \in NP$ , і для багатьох з них ми маємо $\Pi_M \in P$ .
Але чи це правда для всіх $M$ ? Чи відома проблема?

На перший погляд я подумав, що кожен $\Pi_M$ повинен бути набагато простішим, ніж $GI$ , тому що для кожного $n$ існує лише один "еталонний" графік такого розміру, і, можливо, симетричність / асиметрія графіків, породжених $M$ можна використовувати і ефективно може бути побудований спеціальний тестер ізоморфізму ... але це неправда: $M$ може містити якусь універсальну машину Тюрінга з багаточленним приуроченням, яка використовує (одинарний) вхід $1^n$ для генерування абсолютно інших (у структурі) еталонних графіків як $n$ збільшується.

graph-isomorphism

— Марціо Де Біасі
джерело

Цікаво, чи знаєте ви приклад машини Puring time Turing

M

$M$ яка генерує графік

G_{M, N}

$G_{M,N}$ ?

— Мохаммед Аль-Туркистан

@ MohammadAl-Turkistany: тривіальний приклад, для якого - це TM який просто виводить ізольованих вершин (або інша - TM, що виводить ). Не втрачаючи загальності, ми також можемо придумати модель, в якій кожен поліном часу ТМ над бінарним алфавітом генерує опорний графік: просто виберіть перші біти стрічки після її зупинки та інтерпретуйте її як матрицю суміжності .

Π_{M} \in P

$\Pi_M \in P$

M

$M$

n

$n$

K_{n}

$K_n$

n^{2}

$n^2$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

— Марціо Де Біасі

Для ТМ , що гарантує , що має гамільтонів цикл, то я думаю не в .

M

$M$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

Π_{M}

$\Pi_M$

P

$P$

— Мохаммед Аль-Туркстані

@ MohammadAl-Turkistany: Я думаю, що це неправда: просто виберіть TM, який просто будує цикл вузлів: для всіх еталонний графік - який має гамільтонівський цикл - легко перевіряється в поліноміальний час. Я маю на увазі нетривіальний приклад (досить простого) генератора, для якого, здається, важко показати, що проблема в ; але я хочу зробити кілька тестів з nauty, перш ніж додати його до питання.

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Марціо Де Біасі

А що з GI "Іці Біци", коли для фіксованих M і N ми повинні вирішити, чи два графіки, сформовані на 1 ^ n, однакові? (Це

— єдинарна

Відповіді:

[Це більше кількох розширених коментарів, ніж відповідь.]

1) Якщо , то немає фіксованого полінома, пов'язаного з складністю всіх , навіть для що займає лише час, скажімо, : Якщо за весь час - , , то часу для GI. На вході побудуйте машину Тюрінга з годинником, який гарантує, що ніколи не працює більше ніж кроки на входах розміром , і таким, що , а потім вирішити в часі $GI \notin \mathsf{P}$ $\Pi_{M}$ $M$ $n^3$ $n^3$ $M$ $\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$ $(G, H)$ $M_{G}$ $M_{G}$ $n^3$ $n$ $M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$ $\Pi_{M_G}(H)$ $O(n^k)$ .

2) Оскільки для будь-якого , не складніше, ніж GI, можна подумати, що найкращого результату в рядках " здається, немає в ", на який можна сподіватися, - це GI - результат незавершеності. Однак мені здається малоймовірним, що будь-який був би GI-повним, принаймні з наступних причин: $M$ $\Pi_{M}$ $\Pi_M$ $\mathsf{P}$ $\Pi_M$

Усі відомості про повноту GI, про які я знаю, стосуються досить великих класів графіків, а не одного графа кожного розміру. Навіть якщо ви повністю вимогу ефективності, я не знаю жодного списку графіків такого, що (або навіть ) таким, що тестування ізоморфізму на є GI-повним. $G_1, G_2, \dotsc$ $|V(G_n)| = n$ $poly(n)$ $G_n$
У відповідній примітці більшість (усіх?) Результатів повноти GI - це не просто багато-одне скорочення, але мають такий вигляд: є функція така, що дається екземпляр GI, є примірником іншої задачі, повної GI. (Це просто багаторазові морфізми співвідношень еквівалентності, або те, що ми з Fortnow називали «скорочення ядра.) Ми можемо легко безумовно показати, що такого зменшення від GI до будь-якого (навіть якщо ви модифікуєте визначення, щоб дозволити для отримання декількох графіків) Підказка: Отримайте протиріччя, показавши, що будь-яке таке повинно повністю містити його зображення у . $f$ $(G,H)$ $(f(G), f(H))$ $\Pi_M$ $M$ $f$ $\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3) Незважаючи на те, що можна було побудувати на основі універсальної ТМ, як це запропоновано у питанні, можливо, все одно можна побудувати ефективний тестер, але не ефективно. Тобто, може бути , для кожного , в ? $M$ $M$ $\Pi_{M}$ $\mathsf{P/poly}$

— Джошуа Грохов
джерело

Я не маю відповіді на ваше запитання, але пропоную розглянути більш обмежену версію для якої ми можемо показати, що вона лежить в P. $\Pi_M$

Розглянемо лише сімейство графіків таким, що кількість ребер зростає логарифмічно. Я формалізую це, перефразовуючи вашу формулювання проблеми, щоб також зрозуміти, чи правильно я її зрозумів.

Ненаправлений графік з ребрами може бути описаний довгим штриховим рядком, просто об'єднавши записи матриці суміжності у верхній трикутник. Тому існує можливих графіків на вершинах. Звідси випливає, що будь-яка функція така, що для всіх описує a сімейство графіків. Для будь-якої ефективно обчислюваної такої функції ми визначаємо як $G$ $n$ $\frac{n^2-n}{2}$ $G$ $2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f$ $\Pi_f$

G \in Π_{f} ⟺ G is isomorph to the graph described by f (| V (G) |)

$G \in \Pi_f \iff G \text{ is isomorph to the graph described by $f(|V(G)|)$}$

Для натурального числа нехай - число 1 у його бінарному поданні. Тепер давайте розглянемо лише для ефективно обчислюваних функцій для яких встановлено, що - це сімейства графіків, для яких збільшується лише кількість ребер логарифмічно, як зазначено вище. $x$ $b_1(x)$ $\Pi_f$ $f$

b_{1} (f (n)) \in O (\log n)

$b_1(f(n)) \in \mathcal{O}(\log n)$

Покажемо, що для цього класу функцій знаходиться в P. $\Pi_f$

Нехай - така функція, а - вхідний графік з вершин. Назвемо опорним графіком. У довідковому графіку є максимум ребра. Таким чином, кожен MCC (максимально підключений компонент) може складатися з максимум вершин, яких може бути не більше . Зауважимо, що для будь-якої пари графів, що мають лише вершини ми можемо тривіально перевірити ізоморфізм за часом поліномії wrt $f$ $G$ $n$ $f(n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ тому що ми можемо спробувати всі перестановки. Таким чином, використовуючи жадібний алгоритм, щоб призначити кожному МСС вхідного графа МСС у еталонному графіку, ми можемо з'ясувати, чи обидва графіки є ізоморфними.

— Джон Д.
джерело

f

$f$

n

$n$

G

$G$

Π_{f} \in P

$\Pi_{f} \in P$

Дійсно, це здається легшим аргументом, ніж я думав. Я включу це у свою відповідь.

— Джон Д.

Π_{f}

$\Pi_f$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n / \log \log n)$

(\log n)!

$(\log n)!$

(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}

$(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}$

2^{\sqrt{v \log v}}

$2^{\sqrt{v \log v}}$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n/\log \log n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$