"Крихітний" графік Ізоморфізм


19

Розмірковуючи про складність тестування ізоморфізму асиметричних графіків (див. Моє відповідне питання про теоретичну теорію), мені спало на думку додаткове запитання.

Припустимо, у нас є многочлена машина Тьюрінга яка на вході формує графік з вузлами.1 нM1nGM,nn

Ми можемо визначити проблему :ΠM

("Крихітний" GI): Дано графік G=(V,E) , чи G ізоморфний GM,|V| ?

Іншими словами , ми повинні порівняти даний графік з «опорним» графа того ж розміру , що генерується фіксованим многочленом часу машини Тьюринга M .

Для всіх поліноміальних Тьюринга машини M , ми маємо ΠMNP , і для багатьох з них ми маємо ΠMP .
Але чи це правда для всіх M ? Чи відома проблема?

На перший погляд я подумав, що кожен ΠM повинен бути набагато простішим, ніж GI , тому що для кожного n існує лише один "еталонний" графік такого розміру, і, можливо, симетричність / асиметрія графіків, породжених M можна використовувати і ефективно може бути побудований спеціальний тестер ізоморфізму ... але це неправда: M може містити якусь універсальну машину Тюрінга з багаточленним приуроченням, яка використовує (одинарний) вхід 1n для генерування абсолютно інших (у структурі) еталонних графіків як n збільшується.


Цікаво, чи знаєте ви приклад машини Puring time Turing M яка генерує графік GM,N ?
Мохаммед Аль-Туркистан

@ MohammadAl-Turkistany: тривіальний приклад, для якого - це TM який просто виводить ізольованих вершин (або інша - TM, що виводить ). Не втрачаючи загальності, ми також можемо придумати модель, в якій кожен поліном часу ТМ над бінарним алфавітом генерує опорний графік: просто виберіть перші біти стрічки після її зупинки та інтерпретуйте її як матрицю суміжності . ΠMPMnKnn2GM,n
Марціо Де Біасі

Для ТМ , що гарантує , що має гамільтонів цикл, то я думаю не в . MGM,nΠMP
Мохаммед Аль-Туркстані

@ MohammadAl-Turkistany: Я думаю, що це неправда: просто виберіть TM, який просто будує цикл вузлів: для всіх еталонний графік - який має гамільтонівський цикл - легко перевіряється в поліноміальний час. Я маю на увазі нетривіальний приклад (досить простого) генератора, для якого, здається, важко показати, що проблема в ; але я хочу зробити кілька тестів з nauty, перш ніж додати його до питання. nnP
Марціо Де Біасі

1
А що з GI "Іці Біци", коли для фіксованих M і N ми повинні вирішити, чи два графіки, сформовані на 1 ^ n, однакові? (Це
єдинарна

Відповіді:


6

[Це більше кількох розширених коментарів, ніж відповідь.]

1) Якщо , то немає фіксованого полінома, пов'язаного з складністю всіх , навіть для що займає лише час, скажімо, : Якщо за весь час - , , то часу для GI. На вході побудуйте машину Тюрінга з годинником, який гарантує, що ніколи не працює більше ніж кроки на входах розміром , і таким, що , а потім вирішити в часіGIPΠMMn3n3 MΠMDTIME(nk)(G,H)MGMGn3nMG(1|V(G)|)=GΠMG(H)O(nk).

2) Оскільки для будь-якого , не складніше, ніж GI, можна подумати, що найкращого результату в рядках " здається, немає в ", на який можна сподіватися, - це GI - результат незавершеності. Однак мені здається малоймовірним, що будь-який був би GI-повним, принаймні з наступних причин:MΠMΠMPΠM

  • Усі відомості про повноту GI, про які я знаю, стосуються досить великих класів графіків, а не одного графа кожного розміру. Навіть якщо ви повністю вимогу ефективності, я не знаю жодного списку графіків такого, що (або навіть ) таким, що тестування ізоморфізму на є GI-повним.G1,G2,|V(Gn)|=npoly(n)Gn

  • У відповідній примітці більшість (усіх?) Результатів повноти GI - це не просто багато-одне скорочення, але мають такий вигляд: є функція така, що дається екземпляр GI, є примірником іншої задачі, повної GI. (Це просто багаторазові морфізми співвідношень еквівалентності, або те, що ми з Fortnow називали «скорочення ядра.) Ми можемо легко безумовно показати, що такого зменшення від GI до будь-якого (навіть якщо ви модифікуєте визначення, щоб дозволити для отримання декількох графіків) Підказка: Отримайте протиріччя, показавши, що будь-яке таке повинно повністю містити його зображення у .f(G,H)(f(G),f(H))ΠMMf{GM,n}n0

3) Незважаючи на те, що можна було побудувати на основі універсальної ТМ, як це запропоновано у питанні, можливо, все одно можна побудувати ефективний тестер, але не ефективно. Тобто, може бути , для кожного , в ?MMΠMP/poly


1

Я не маю відповіді на ваше запитання, але пропоную розглянути більш обмежену версію для якої ми можемо показати, що вона лежить в P.ΠM

Розглянемо лише сімейство графіків таким, що кількість ребер зростає логарифмічно. Я формалізую це, перефразовуючи вашу формулювання проблеми, щоб також зрозуміти, чи правильно я її зрозумів.

Ненаправлений графік з ребрами може бути описаний довгим штриховим рядком, просто об'єднавши записи матриці суміжності у верхній трикутник. Тому існує можливих графіків на вершинах. Звідси випливає, що будь-яка функція така, що для всіх описує a сімейство графіків. Для будь-якої ефективно обчислюваної такої функції ми визначаємо як Gnn2n2G2n2n2nf:NN0f(n)<2n2n2nfΠf

GΠfG is isomorph to the graph described by f(|V(G)|)

Для натурального числа нехай - число 1 у його бінарному поданні. Тепер давайте розглянемо лише для ефективно обчислюваних функцій для яких встановлено, що - це сімейства графіків, для яких збільшується лише кількість ребер логарифмічно, як зазначено вище.xb1(x)Πff

b1(f(n))O(logn)

Покажемо, що для цього класу функцій знаходиться в P.Πf

Нехай - така функція, а - вхідний графік з вершин. Назвемо опорним графіком. У довідковому графіку є максимум ребра. Таким чином, кожен MCC (максимально підключений компонент) може складатися з максимум вершин, яких може бути не більше . Зауважимо, що для будь-якої пари графів, що мають лише вершини ми можемо тривіально перевірити ізоморфізм за часом поліномії wrtfGnf(n)O(logn)O(logn)nO(logn)nтому що ми можемо спробувати всі перестановки. Таким чином, використовуючи жадібний алгоритм, щоб призначити кожному МСС вхідного графа МСС у еталонному графіку, ми можемо з'ясувати, чи обидва графіки є ізоморфними.


fnGΠfP

Дійсно, це здається легшим аргументом, ніж я думав. Я включу це у свою відповідь.
Джон Д.

Πf

1
O(logn/loglogn)(logn)!(logn)logn=nloglogn2vlogvO(logn/loglogn)O(log2n)
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.