Чи є локальні максимуми в кількості ходів, необхідних для вирішення куба Рубіка?

Пітер Шор підніс цікавий момент стосовно спроби відповісти на попереднє запитання про складність розв’язання куба Рубікса. Я опублікував досить наївну спробу показати, що вона повинна міститися в НП. Як зазначив Петро, у деяких випадках мій підхід не вдається. Один з потенційних випадків такого екземпляра - там, де існують локальні максимуми в довжині шляху. Під цим я маю в виду , що це може зайняти кроки , щоб вирішити куб від конфігурації , а також або рухається вирішити кубик з будь-якого положення , яке може бути досягнуто в одному переході від . Тепер це не обов'язково така проблема, якщо $n \times n \times n$ $S_A$ $A$ $S_A$ $S_A - 1$ $A$ $S_A$ - це максимальна кількість ходів, необхідних для вирішення куба в цілому (число Бога для цього куба), але, безумовно, проблема, якщо суворо менше, ніж число Бога для цього куба. Отже, моє запитання: чи існують такі локальні максимуми? Навіть відповідь на куб мене цікавить. $S_A$ $3 \times 3 \times 3$

co.combinatorics puzzles

— Джо Фіцсімонс
джерело

Хоча у мене немає прикладу, я був би здивований, якщо їх немає, тому що це, мабуть, означає, що ми можемо обчислити число Бога, просто знайшовши одну конфігурацію, яка є локальним максимумом (однак це не суворий аргумент).

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi Ах, але, можливо, не було відомо, існували чи ні місцеві максимуми, поки не було обчислено число Бога! Але я згоден у тому, що я думаю, що ці локальні максимуми існують. Я просто не знаю точно, і мені було б цікаво дізнатись.

— Джо Фіцсімонс

@Joe: Так, саме це не є суворим щодо мого аргументу. Я був би більш суворо здивований :), якщо можна довести, що немає локальних максимумів без проведення вичерпного пошуку.

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi Схоже, що локальні максимуми не можуть зустрічатися на дуже короткій довжині шляху, і лише здається, що вони існують близько до числа Бога, саме тому я думаю, що це не так визначено, що вони існують.

— Джо Фіцсімонс

Я знаю, що графіки Кейлі для довільних груп можуть мати локальні максимуми. Я забуваю, де я бачив цей результат, але впевнений, що його десь бачив. Тому, якщо група кубів Рубіка не є якось особливою, можна очікувати, що вона має і локальні максимуми.

— Петро Шор

Відповіді:

Задавши Томашу Рокіцькому, це питання негайно дало правильну відповідь ("так, місцеві максимуми існують"):

Якщо позиція виявляє загальну симетрію, вона є необхідною для місцевого максимуму (всі, крім початку). Невелика думка повинна дати зрозуміти, чому це так у метриці QTM [чверть повороту]. Для HTM [метрика на півроку] це дещо тонше, але не надто погано.

...

Таке положення - понс асинорум, який становить відстань 12 в QTM і відстань 6 в HTM (U2D2F2B2L2R2).

Я не бачу, чому це стосується метрики на півроку; але для метрики чверть обороту це зрозуміло. У положенні із загальною симетрією всі сусідні позиції повинні бути однакової довжини шляху (оскільки всі рухи рівносильні симетрії). Тож позиція із загальною симетрією повинна бути або локальним максимумом, або суворим локальним мінімумом. Але суворі локальні мінімуми не можуть існувати ... повинен бути певний хід, який зменшує відстань до вирішеного стану, саме за визначенням відстані. Аргумент симетрії перекладається на куб , як і в наведеному прикладі положення. $n \times n \times n$

— mjqxxxx
джерело

Який простий аргумент, це геніально!

— Сісен-Чі Чанг 17 之

Відмінно, це дуже приємний аргумент!

— Джо Фіцсімонс

Ось надзвичайно евристичний аргумент, який підказує, де можна знайти локальні максимуми. Нехай - кількість позицій, для вирішення яких потрібно рівно ходів. Кожен хід з такої позиції відводить куб на відстань , або ; тому є загалом позицій, які є доступними. З кожної позиції є ходи, що ведуть до нових позицій; положення на відстані $N_d$ $d$ $d-1$ $d$ $d+1$ $N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$ $M$ $M$ $d$ - локальний максимум, коли жодне з цих положень знаходиться на відстані . Якщо ми вважаємо, що ці позиції будуть виведені рівномірно з доступних позицій (що, звичайно, це не так; це евристична частина), ми маємо: $M$ $d+1$

\begin{array}{rcl} X_{d} & = & P [a given position at d is a local max] \\ = & {(\frac{N_{d - 1} + N_{d}}{N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}})}^{M} \\ = & {(1 + \frac{N_{d + 1}}{N_{d - 1} + N_{d}})}^{- M} . \end{array}

$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$

$d$ $N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$ $M=18$ $N_d$ $N_{16} X_{16} = 0.2$ $N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$ $N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$ $d \le 16$ $d=17$ $12 \times 10^{18}$ $d=18$

— mjqxxxx
джерело

N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$

N_{d}

$N_d$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d + 1

$d+1$

d

$d$ . Я поняття не маю, наскільки поширеними чи рідкісними будуть ці ситуації.

— Джо Фіцсімонс