Підрахунок кількості гамільтонових циклів у кубічних гамільтонових графах?

15

Це -важко знайти постійний коефіцієнт апроксимації довгого циклу в кубічних гамільтонових графів. Графіки кубічних гамільтонів мають щонайменше два гамільтонові цикли. $NP$

Які найвідоміші верхня та нижня межі щодо кількості гамільтонових циклів у кубічних гамільтонових графах? З огляду на кубічний графік гамільтонів, у чому полягає складність пошуку кількості гамільтонових циклів? Це # твердий? $P$

cc.complexity-theory counting-complexity

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

20

Підрахунок гамільтонових схем у 3-регулярному гамільтоновому графіку є # P-повним.

Доказ ескіз . Членство в #P тривіальне, тому ми покажемо лише # P-твердість.

Розділ 3 Лішкевича, Огіхари та Тоди [LOT03] показує, що підрахунок гамільтонових схем у 3-регулярному (і насправді планарному одночасно) графіку є # P-повним. Більше того, їх скорочення з # 3SAT відображає задоволену формулу 3CNF до гамільтонових графіків. Таким чином, ви можете звести # 3SAT до підрахунку гамільтонових схем у 3-регулярному гамільтоновому графіку, спочатку додавши одне тривіальне рішення до заданої формули 3CNF, а потім звести його до підрахунку гамільтонових схем за допомогою зменшення [LOT03]. QED .

[LOT03] Мацей Ліськевич, Міцунорі Огіхара та Сейносуке Тода. Складність підрахунку прогулянок, що уникають самовираження, у підграфах двовимірних сіток та гіперкубів. Теоретична інформатика , 304 (1–3): 129–156, липень 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

— Цуйосі Іто
джерело

Гарна відповідь. Чи знаєте ви будь-яку верхню або нижню межу щодо кількості гамільтонових циклів у кубічних гамільтонових графах?

— Мохаммед Аль-Туркстані

1

\leq_{r-shift}^{p}

$\le^p_{\text{r-shift}}$

23

$2^{3n/8}$ $2^{n/3}$ $2^{n/3}$ $1.276^n$ .

$2^{n/2}$

— Девід Еппштейн
джерело

Дякую Девіду за гарну відповідь, я б хотів прийняти більше, ніж одну відповідь.

— Мохаммед Аль-Туркстані

8

Деякі графіки мають рівно три гамільтонові схеми:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/ab Abstract

Якщо почати з площинного графа тетраедра, який містить рівно три гамільтонові схеми, і створив новий плоский 3-з’єднаний графік обрізанням однієї вершини, вийде новий графік, який має рівно три гамільтонові схеми. Якщо продовжувати обрізати одну вершину за один раз, отримується сімейство графіків з точно трьома гамільтоновими схемами.

Додатковий коментар:

Також було проведено певну роботу над питанням, які графіки, крім циклів, мають саме одну ланцюг гамільтоніона:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abrief

Дуже приємний оглядовий документ про гамльтіонові схеми в спеціальних видах графіків, в якому є розділ, що стосується номерів гамільтонових схем, і виправляє деякі проблеми з наведеною вище роботою:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf

— Йосиф Малькевич
джерело