Чи повна проблема розпізнавання 3 сфери NP?

Відомо, що визначати, чи є дане трикутне 3-багатогранник 3-сферою, знаходиться в НП, завдяки роботі Сауля Шлеймера в 2004 році: "Розпізнавання сфери лежить в NP" arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Мені цікаво, чи було встановлено, що за останні п’ять-шість років цей стан не є повним? Аналогічні проблеми, такі як проблема з родом 3-ти колективних вузлів, були показані NP-завершеними.

Якщо це NP-повна, то чи не довели б ви, що жодна сукупність (рівномірно) обчислюваних інваріантів поліноміальних часових 3-манорівностей не відрізняє 3-сфери від інших 3-многообразий. Я був би дуже здивований, якби це було відомо.

Просто додати відповідь Петра: невдала проблема для вузлів у трьох сферах була показана в НП Хассом, Лагарієм та Піппенджером. Ян Агол довів, що проблема, що не помічається, є у спів-NP (але дивіться його коментарі щодо MathOverflow). Принаймні, мені здається, що проблема розпізнавання трьох сфер набагато більше схожа на невстановлювальну, ніж на вузол роду в цілому три багатообразників. (Тому що це засвідчено наявністю позитивної характерної поверхні Ейлера.)

Таким чином, я б став на загрозу, щоб розпізнавання трьох сфер було також у спільному програмі. Крок у цьому напрямку повинен був би показати, що розпізнавання невідворотних, тороїдальних колекторів знаходиться в NP, безпосередньо за Аголом. Трохи сильніше було б показати, що розпізнавання Хакена в колективі лежить в NP. Відокремити трисферу від невідворотних нетороїдальних колекторів складніше. Але, можливо, тут потрібно скористатися геометризацією - якщо колектор закритий, орієнтований, невідводимий та атороїдальний, то він має одну з восьми геометрій Торстона. Можливо, легко засвідчити всі геометричні, але не гіперболічні множини, скажімо, через майже звичайні розщеплення Хегаарда. (Хоча межі складності Хасса, Лагарії та Піппенгера доведеться якось замінити.)

Підтвердження того, що три багатообразний має гіперболічну структуру, звучить важче. Дві ідеї підказують самі:$M$

Слідуючи ідеям Габая (і, звичайно, Терстона), можна шукати правильну просту закриту криву, яку слід просвердлити з , щоб отримати колектор з торовою межею. Засвідчити гіперболічну структуру набагато простіше, і навіть можна було б записати достатньо інформації, щоб довести, що заповнення для повернення назад не знищує гіперболічності.N N N $M$$N$$N$$N$$M$

Набагато менш розумний підхід полягає в доказі гіпотези віртуального Хакен таким чином , що ви або) прибуде полиномиального розмір оцінки за ступенем покриття або б) дізнатися що - то неймовірно корисне про .$M$

У цій роботі показано (хоча я цього не підтвердив), що розпізнавання 3 сфери * є у coNP, припускаючи GRH:

Рафаель Зентнер. 3-сфери гомології цілого числа допускають непридатні уявлення в . $SL(2,\mathbb{C})$arXiv: 1605.08530 [math.GT], 2016

(Можливий інтерес: подальший документ arXiv: 1610.04092 [math.GT] використовує це для розробки алгоритму з використанням баз Grobner.)

* Технічно зазначено, що розпізнавання 3-сфери серед цілої гомології 3-х сфер відбувається в coNP, припускаючи GRH. Я не фахівець у цій галузі, але мені здається зрозумілим, що можна обчислити цілу гомологію, задану триангуляцією в полі-часі, і якщо ціла гомологія не збігається з 3-сферою, то це точно не 3-сфера.