Інтерактивні докази рівнів ієрархії поліномів

33

Ми знаємо, що якщо у вас машина PSPACE, вона досить потужна, щоб дати інтерактивний доказ поліноміальної ієрархії будь-якого рівня. (І якщо я добре пам'ятаю, все, що вам потрібно, це # P.) Але припустимо, ви хочете надати інтерактивний доказ членства мовою . Чи достатньо, щоб можна було вирішити проблеми в ? Чи адекватне вирішення проблем у ? Загалом, якщо ви можете вирішити проблеми або , для чого цього достатньо для створення інтерактивних доказів усіх мовних файлів у ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Це питання було натхнене цим питанням обміну стекейними теоріями .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Петро Шор
джерело

Вас цікавить лише одна справа проверки чи вас цікавить декілька доказів? Мені здається, що очевидним способом атакувати це було б через PCP, які можуть бути прямими для двох доказів, але, ймовірно, не працюватимуть для жодного доказу.

— Джо Фіцсімонс

1

Мене зацікавили б обидва випадки. Я досить довго замислювався над цим питанням для одиноких доказів, але взагалі не замислювався про кілька доказів.

— Пітер Шор

4

@Peter: Переглядаючи папір IP = PSPACE, здається, що доказ проходитиме за допомогою (що є повною для ), а не QBF, за умови, що у вас є достатньо потужних даних для обчислення поліномні тотожності, що виникають внаслідок арифмітизації . Я щось пропускаю?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Джо Фіцсімонс

1

@ Джо, я не розглядав цю ідею; це може спрацювати

— Пітер Шор

2

Джо, можливо, ти мусиш опублікувати це як відповідь

— Суреш Венкат

25

Навіть для надання IP для coNP, використовуючи сучасні методи, потрібно арифметизувати, тобто використовувати підрахунок, що по суті означає повну потужність #P. Думаю, будь-який слабший доказ навіть для coNP (зокрема, мав би на увазі нову нереляційну техніку.)

— Нім
джерело

@ Петер: Ноам прав. Я цитую наступні рядки звідси : ... базування стійкого до зіткнення хеширування на найгіршій жорсткості NP через зменшення чорної скриньки передбачає інтерактивну систему доказів для co-NP з доказчиком в BPP ^ NP ... Усі відомі (навіть багатодоказові) системи доказів для спільної роботи NP вимагають доказів зі складністю #P ...

— MS Dousti

У такому випадку моя відповідь, швидше за все, дурниця. Дякуємо, що вказали на це.

— Джо Фіцсімонс

Насправді, це дійсно цікаво, враховуючи, що для інтерактивного доказу Графічного неізоморфізму потрібен лише доказ з оракулом для цієї проблеми. Це здається доказом того, що або GI дуже слабкий (як у P), або межі для інтерактивних доказів рівнів поліноміальної ієрархії, ймовірно, дуже слабкі.

— Джо Фіцсімонс

1

Я припускаю, що численні докази невідомі. Це правильно?

— Пітер Шор

1

@Joe Доказ для неізоморфізму графа є постійним круглим доказом публічної монети, таким чином, він ставить його до класу AM (широко вважається рівним NP, а значить, GI і GNI вважаються в ). Це набагато нижче, ніж круглий доказ полінома, який, як вважають, необхідний для доведення членства у повних проблемах coNP.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— Боаз Барак

21

Це відома (чудова) відкрита проблема, над якою я працював час від часу без успіху.

Ми з Аві Вігдерсоном згадували про проблему в нашому документі про алгебризацію , де ми ставили питання про те, чи можна містити такі вмісти, як coNP ⊆ IP _NP, методами алгебризування. (Тут IP _NP позначає IP з верифікатором BPP та доказом BPP ^NP .) Якщо (як я гадаю) відповідь "ні", це може стати формальною причиною, чому будь-який інтерактивний протокол, як той, про який запитує Петро, вимагатиме нерелятивізації методи, що виходять «принципово більше», використовувані для IP = PSPACE.

Аналогічним питанням є чи BQP = IP _BQP , де IP _BQP означає IP з верифікатором BPP і доказом BQP (квантовий поліном-час). Це питання також є відкритим --- хоча нещодавній прорив з боку Бродбента, Фітцимона та Кашефі показав, що тісно пов'язане твердження є правдивим.

— Скотт Ааронсон
джерело

20

Так, питання про те, чи має coNP інтерактивний доказ, коли доказ слабший, ніж # P (скажімо, політайм з доступом до NP oracle) - добре відоме відкрите питання. Наступний останній документ Хайтнера, Махмуді та Сяо обговорює це питання і показує деякі наслідки припущення, що цього не можна зробити.

— Боаз Барак
джерело

11

Оскільки Суреш запропонував я опублікувати свій коментар як відповідь, я буду. Однак я не вважаю це повноцінною відповіддю, оскільки я не намагався цього довести, і це може виявитись тупиком.

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Джо Фіцсімонс
джерело

питання вже виникає у доказі співпраці. Протокол підсумовування має n раундів (по одному для кожної змінної). У кожному раунді доказчику потрібно придумати коефіцієнти многочлена, отримані деякою експоненціально великою сумою. Я не знаю, як це зробити, використовуючи менше енергії, ніж #P.

— Боаз Барак

@Boaz: Так, я думаю, що цей підхід призначений для провалу. Я думав, що бачив версію арифметизації, зроблену десь таким чином, що поліном набирав значення 1 або 0 для входів 0s і 1s. Якщо це так, то, схоже, ви могли б використати оракул для відповідної проблеми рішення. Тоді знову, я, можливо, просто уявив це!

— Джо Фіцсімонс