Методи показу нерозв'язності в логіці та інших формальних системах доказування

У системах доказів класичної логіки пропозицій, якщо хочеться показати, що певна формула не є похідною, просто показує, що може бути виведено (хоча інші методи, безумовно, можливі). Нерозбірливість по суті випливає з надійності та повноти системи перевірки. $\psi$ $\neg\psi$

На жаль, для некласичної логіки та більш екзотичних систем доказування (таких як правила, що лежать в основі оперативної семантики) такої прямої методики не існує. Це може бути тому, що неперехідність не означає, що є похідною, як це відбувається в інтуїтивістській логіці, або просто, що поняття заперечення не існує. $\psi$ $\neg\psi$

На моє запитання задається система підтвердження , де , (і, мабуть, його семантика), які методи існують щоб показати нерозв'язність? $(\mathcal{L},\vdash)$ $\vdash\;\subseteq\mathcal{L}^*\times\mathcal{L}$

Цікаві системи, що цікавлять, можуть включати оперативну семантику мов програмування, логіку Хоара, системи типів, некласичну логіку або правила умовиводу для того, що у вас є.

lo.logic

— Дейв Кларк
джерело

Дейв, я думаю, що в запитанні є помилка друку, щоб показати, що не виводиться, ми не показуємо, що є похідною, ми просто показуємо, що вона є послідовною, і це базується лише на послідовності класичного логіка. Якщо логіка є класичною логікою першого порядку, то є речення, які ми не можемо ні довести, ні спростувати (якщо не говорити про повну теорію ). Або я неправильно читаю ваше запитання?

φ

$\varphi$

\neg φ

$\lnot \varphi$

— Каве

Я змінив його на класичну логіку пропозицій. Питання вимагає будь-якої техніки, крім доказування заперечення, оскільки багато формальної системи (колекції аксіом і правил умовиводу) не мають заперечення, або насправді можуть навіть не виглядати як "логіка".

— Дейв Кларк

Дякую за уточнення, коли я читаю класичну логіку, мій розум переходить до логіки першого порядку. :)

— Каве

IME, наступний список найлегший за найскладніший (звичайно, він також є найменш найпотужнішим):

Якщо ваша система є надійною, і ви можете довести , звичайно, у вас є результат непроникності. $\lnot \phi$
Якщо у вас є логічно-теоретична семантика для вашої логіки, відносно якої справедливі всі ваші правила доказування, то якщо значення пропозиції не є найвищим елементом решітки, то це не є похідною пропозицією.
Якщо ви знаєте, що ваша логіка повна стосовно класу моделей, перевірте, чи є в цьому класі певна модель, яка визнає недійсним . $\phi$
Іноді ви можете піти з перекладу в іншу логіку і показати, що тут невід'ємність передбачає відомий результат нерозбірливості.
Якщо у вас є природне вирахування або послідовне обчислення, перевірте, чи є відомий результат усунення розрізів, чи ви можете це довести. Якщо є, то ви можете часто використовувати властивість підформули, щоб надати прості індуктивні аргументи про нерозбірливість. (Наприклад, послідовність за допомогою усунення зрізів - це лише твердження про відсутність відсічних доказів неправдивості, і тому, якщо всі розрізи можна усунути, немає ніяких невідповідностей.)
Якщо нічого іншого не працює, то часто можна виявити послідовність / нерозбірливість результатів через аргумент логічних відносин. Це велика рушниця, яка працює, коли нічого іншого не робить - теоретично-множинно кажучи, вона зводиться до використання аксіоми Заміна, яка дозволяє показувати, що величезні набори впорядковані. (Ось чому ви можете використовувати його для доведення таких речей, як нормалізація системи F.)

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Добре, якщо я правильно пам’ятаю, нормалізація для може бути доведена в , тому немає необхідності в заміні.

F

$F$

P A^{2}

$PA^2$

— Kaveh

Якщо ви припускаєте арифметику Пеано другого порядку, ви можете довести F, але не сильніші системи (наприклад, ), але докази логічних відношень продовжують масштабуватися до цих систем. Коли ви робите доказ через логічні відносини, ви таємно будуєте маленьку модель снопа, яка розглядається як топос, може інтерпретувати досить сильну теорію множин (IIRC, обмежений ZF), включаючи заміну.

F^{2}

$F^2$

— Ніл Крішнасвамі

Дякую, тепер я бачу, що ви мали на увазі під "такими речами, як нормалізація системи F". :)

— Каве

@Kaveh, @Neel: Сильна нормалізація системи F не є теоремою PA2, натомість вона є еквівалентною для PA консистенції PA2. Швидше, сильна нормалізація для всіх термінів рангу n (ранг є мірою максимальної глибини квантових вирівнених типів) можна довести за допомогою ACA- n . Мені подобається говорити про побудову моделей снопів таємно ...

— Чарльз Стюарт

@Charles: Я дізнався про цю ідею з деяких робіт Жана Гальєра, які на диво недостатньо цитуються. Дещо збочене, це вигадливе уявлення допомогло мені зрозуміти простішу інформацію Мітчелла і Щедрова.

— Neel Krishnaswami