Чи є Oracles асоціативними?

На це питання може бути очевидна відповідь ... але ось питання все одно. Інтуїтивно зрозумілим є наступне правдоподібне твердження - "машина з підпрограмою A, яка, у свою чергу, має підпрограму B, така ж, як і машина з підпрограмою A, яка має доступ до підпрограми B".

Щоб визначити цю проблему формально, я буду використовувати нетрадиційні позначення. Коли я кажу , я даю A oracle для проблеми B - C o m p l e t e . наприклад, N P N P = N P S A T = Σ 2 . За допомогою цієї "нової" позначення можна визначити A B C тощо. Моє запитання: є$A^B$$A$$B-Complete$$NP^{NP}=NP^{SAT}=\Sigma_2$$A^{B^C}$

• це дійсний спосіб мислення про оракули?
• є $(A^B)^C = A^{(B^C)}$

Наприклад, $(NP^{NP})^{NP} = \Sigma_2^{NP} = NP^{\Sigma_2}=NP^{({NP}^{NP})}$

Я не можу придумати жодних очевидних прикладів цього правила. Хтось?

Як розповів Венкат у коментарях, важко зрозуміти ваше визначення для oracle, яке не визначається як деяка характеристика машини.

Нехай буде сукупністю TM в A з оракул, який є машиною в ( B з оракулом в машині в C ). Очевидно , що машина А може зателефонувати C : він просто викликає машину в B і просить його , щоб нести повідомлення безпосередньо C .$A^{(B^C)}$$A$$B$$C$$A$$C$$B$$C$

Я думаю була б машиною в A, яка може викликати оракул у C, або оракулом, який є (машина в B, яка може викликати машину в C ), тож це точно таке саме визначення.${(A^B)}^C$$A$$C$$B$$C$

Нарешті, ви можете захотіти , що, безумовно, відрізняється від двох інших (просто візьміть B = C = N P і A = P , тоді A B , C = N P ∪ c o N P, тоді як A ( B C ) = Σ P 2 ∪ Π p 2 .$A^{B,C}$$B=C=NP$$A=P$$A^{B,C}=NP\cup coNP$$A^{(B^C)}=\Sigma_2^P\cup\Pi_2^p$

Я б написав наступне як коментар, але це було занадто довго, щоб вписатися.

Давайте спочатку опишемо значення "алгоритмів класу з оракул для мови А." (На необхідність цього вказував Цуйосі Іто). Ми будемо використовувати ту саму конвенцію, яку використовували Ладнер та Лінч . Конвенція добре описана компанією Bennett & Gill :$\bf C$

можна визначити різними способами, залежно від того, як обробляється стрічка запитів. Ми дотримуємося конвенцій Ладнера та Лінча [LL]: стрічка запиту не стягується з обмеженим пробілом, але щоб не використовувати її як робочу стрічку, стрічка запитів є односторонньою і лише для запису, і стирається автоматично після кожного запиту. (Саймон [Сі] трактує запитну стрічку як одну з робочих стрічок - двосторонню стрічку для читання / запису, яка заряджається проти пробілу. Визначення Ладнера-Лінча є менш обмежувальним і, можливо, більш природним, оскільки для випадкового оракулаA∈ L O G S P A C E$\bf{LOGSPACE}^A$$A \in \bf{LOGSPACE}^A$ має вірогідність 1 для [LL], але не для [Si])

[LL] RE LADNER AND NA LYNCH, Релятивізація питань щодо обчислюваності простору журналу , Math. Теорія систем, 10 (1976), с.19-32.

[Si] Дж. СІМОН, Про деякі центральні проблеми складності обчислень , техн. Реп. TR 75-224, кафедра інформатики, Корнельський університет, Ітака, Нью-Йорк, 1975.

Стандартне визначення класів складності машин oracle таке: Нехай B і C - класи складності . Тоді є законним клас складності, визначається як X = ⋃ L ∈ C B L . Тут B L представляє клас складності задач рішення, розв’язуваних алгоритмом класу B з оракул для мови L.$X = B^C$$X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$B^L$

Так як X є законним класом складності, для будь-якого класу складності А, можна говорити про класи складності і X A = ( B C ) A .$A^X = A^{(B^C)}$$X^A = (B^C)^A$

• відноситься до класу складності завданьщо вирішуються рішення алгоритму в класі А з оракулом для будь-якої мови L ' ∈ X = ⋃ L ∈ C B L . Іншими словами, A X = ⋃ L ′ ∈ { ⋃ L ∈ C B L } A L ′ .$A^X$$L' \in X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$A ^ X = \bigcup\limits_{L'\in \{\bigcup\limits_{L\in C}{B^L}\}}{A^{L'}}$

• відноситься до класу складності завданьщо вирішуються рішення алгоритму в класі X = ⋃ L ∈ C B L з оракулом для будь-якої мови L ' ∈ A . Іншими словами, X A = ⋃ L ′ ∈ A X L ′ = ⋃ L ′ ∈ A ( ⋃ L ∈ C B L ) L ′ .$X^A$$X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$L' \in A$$X ^ A = \bigcup_{L' \in A} {{X^{L'}}} = \bigcup_{L' \in A} {{{\left( {\bigcup_{L \in C} {{B^L}} } \right)}^{L'}}}$

Претензія: .$(B^{L_1})^{L'} \cup (B^{L_2})^{L'} = (B^{L'})^{L_1 \cup L_2}$

Side Note: Since it's 3:00 AM now, I'm too sleepy to check the validity of the above claim! I think it's valid & elementary to prove, yet it's nice to see the actual proof.

Таким чином, можна записати .$X ^ A = \bigcup_{L' \in A} {{{\left( {\bigcup_{L \in C} {{B^L}} } \right)}^{L'}}} = \bigcup_{L \in C, L' \in A} {{{\left( B^{L'} \right)}^L}}$

Приклад

Нехай . Ми знаємо , що C ущільнювача N P ⊆ X . Надання як доступ боку оракула до N P , один отримує: з про N P N P ⊆ X N P = ( P N P ) N P .$\bf X = \bf{P^{NP}}$$\bf{coNP} \subseteq \bf X$$\bf {NP}$$\bf{coNP^{NP}} \subseteq \bf{X^{NP}} = (\bf{P^{NP}})^{\bf{NP}}$

Епілог

Плідна дискусія з Цуйосі Іто виявила (для мене), що подвійно релятивізувати клас складності подвійно непросто. Насправді навіть визначити один із них видається проблематичним. Я, безумовно, повинен більше вивчити, чи не було дано жодного задовільного визначення. Тим часом я вдячний за будь-який коментар, який можна використати для вирішення цієї проблеми.