Визначення марних країв для найкоротшого шляху

Розглянемо графік (проблема має сенс як для спрямованих, так і непрямих графіків). Назвіть матрицю відстаней : - найкоротша відстань шляху від вершини до вершини в для певної фіксованої функції агрегації (наприклад, або ). $G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

Я би мовити , що підграф $G'$ з $G$ (з таким же безліччю вершин) є зр-еквівалентно до $G$ , якщо $M_G = M_{G'}$ . Іншими словами, видалення ребер для переходу від $G$ до $G'$ не змінює довжину найкоротших шляхів; видалені краї не потрібні для жодного найкоротшого шляху.

Взагалі немає жодного сп-рівнозначного підграфа $G$ який мінімальний для включення. Наприклад, якщо $G$ є непрямим і всі ребра мають вагу $0$ , будь-яке простягається дерево $G$ є мінімальним підграфом з еквівалентом sp (дійсно, будь-який край у циклі можна було видалити, але відключення вершинної пари очевидно змінює відстань). Однак я все ще можу назвати краї $G$ непотрібними, якщо вони не є мінімальним подграфом-еквівалентом sp, необхідним, якщо вони є у всіх мінімальних sp-еквіваграфах (тобто в їх перетині), і необов'язковими, якщо вони є в деяких з них (тобто , в їх союзі).

Перше моє запитання: чи мають ці поняття стандартну назву?

Друге моє запитання: Яка складність класифікувати краї $G$ таким чином, залежно від того, чи $G$ непрямий або спрямований, та від функції агрегації?

(Наприклад, для $G$ непрямої та для $\max$ мінімальні сп-еквівалентні підграграфи - це натягнуті дерева мінімальної ваги, тому принаймні, якщо всі ваги ребер різняться, класифікація легко обчислюється обчисленням унікального мінімального прольотного дерева, але загалом Я не знаю, як все працює.)

— a3nm
джерело

"Наприклад, якщо G є непрямим і не зваженим, будь-яке дерево, що охоплює G, є мінімальним sp-еквівалентом підграграфа." Це, мабуть, не відповідає дійсності: у всі відстані дорівнюють , але жодне нахилене дерево має цієї властивості. Насправді жоден підграф не робить. Інакше це звучить як гайковий ключ en.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner#Distance

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Сашо Ніколов

Насправді, для будь-якого непрямого невагомого графіка не існує жодного сп-рівнозначного підграфу: якщо підграф не включає ребра , то .

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— Сашо Ніколов

Я думаю, що ми можемо принаймні сказати, що ідентифікація настільки ж проста, як і всі пари, найкоротший шлях: Якщо є край але найкоротший шлях від до коротший від цього краю, то край є "марним" (ми завжди повинні використовувати цей коротший шлях замість цього краю в будь-якому сценарії); навпаки, якщо край є "марним", тоді має бути коротший шлях, ніж довжина краю від до . Тому просто перейдіть по краях і перевірте, чи є коротший шлях, ніж цей край. (Вищенаведено для звичайного найкоротшого шляху. Не замислювалися над правилом агрегації.)

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— usul

Можливо, ви захочете шукати "зберігачів на відстані"

— arnab

Сашо Ніколов: Вибачте, що за непрямим і невагомим графіком я мав на увазі краї вагою 0, а не 1. Перефразовуючи це у питанні.

— a3nm

Якщо ви шукаєте спосіб назвати (або по черзі охарактеризувати) ці краї, які ви називаєте "непотрібними" та "необхідними", ви могли б позначати їх як краї з центральністю між 0 і = 1 відповідно. Кожне ребро може бути класифіковане як те, що має значення = 0, = 1 або в (0,1) між мірками між часом у всіх пар-найкоротших шляхів.

Це добре вивчений показник мережевих країв, і існують швидкі алгоритми оновлення всіх оцінок центральності ребер при видаленні ребер (але я не впевнений в інших збуреннях).

Функція центральності вбудована в основному для кожного мережевого аналізу, який я бачив, і є визначення, яке застосовується і до спрямованих графіків:

(редагувати: посилання, яке я давав спочатку лише обговорюваному вузлу між центральністю, але ось єдину статтю у Вікіпедії, яку я можу знайти, яка обговорює центральність між країнами: http://en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm Все-таки межі між ними є стандартною мірою, яку зазвичай можна знайти в пакетах мережевого аналізу.)

— JimN
джерело

Я думаю, що різниця між центральністю вузла та центральністю між краєм є несуттєвою, оскільки ви завжди можете додати проміжні вузли до ребер, або скопіювати вузли та додати один край від однієї копії до іншої, щоб зменшити одне визначення до іншого. Це корисний вказівник, дякую за те, що мені це відомо!

— a3nm