Який найпростіший поліноміальний алгоритм для ПЛАНАРНОСТІ?

28

Існує кілька алгоритмів, які визначають у поліноміальний час, чи можна малювати графік у площині чи ні, навіть багато з лінійним часом виконання. Однак я не зміг знайти дуже простий алгоритм, який можна було б легко та швидко пояснити на уроці та показав би, що ПЛАНАРНІСТЬ є в П. Чи знаєте ви?

Якщо потрібно, ви можете використовувати теорему Куратовського чи Фаррі, але без глибоких речей, як, наприклад, другорядну теорему графа. Також зауважте, що мені не байдуже час роботи, я просто хочу щось поліноміальне.

Нижче наведено три найкращі алгоритми, що показують простоту / не глибоку теорію, необхідну для компромісу.

Алгоритм 1: Використовуючи це, ми можемо перевірити, чи містить графік або як мінор у поліноміальний час, ми отримуємо дуже простий алгоритм, використовуючи глибоку теорію. (Зауважте, що ця теорія вже використовує вбудовування графів, на що вказував Саїд, тому це не справжній алгоритмічний підхід, а щось просто сказати студентам, які вже знали / приймали другорядну теорему графа.) $K_5$ $K_{3,3}$

Алгоритм 2 [на основі чиєїсь відповіді]: Неважко зрозуміти, що достатньо мати справу з 3-х сполученими графами. Для цього знайдіть обличчя, а потім застосуйте весняну теорему Тутта.

Алгоритм 3 [рекомендований Юхо]: алгоритм Демукрона, Малгранжа та Пертуайсе (DMP). Намалюй цикл, компоненти решти графа називаємо фрагментами, ми вбудовуємо їх відповідним чином (тим часом створюючи нові фрагменти). Цей підхід не використовує інших теорем.

graph-algorithms co.combinatorics planar-graphs

— домоторп
джерело

1

Думаю, багато хто погоджується, що найпростіший алгоритм багаточленного часу - це алгоритм Demoucron, Malgrange та Pertuiset (DMP). Це підручники алгоритму, як правило, охоплюють (див., Наприклад, Gibbons 1985 або Bondy & Murty 1976). Чи достатньо просто вирішити планарність, чи алгоритм також повинен вивести площинне вбудовування? Доповідь IIRC "SODA'99" Бойєра та Мирвольда @joro, ймовірно, посилається на деталі, особливо щодо складності часу.

— Джухо

2

Якщо ви хочете, щоб проблема вирішення була ПЛАНОВОЮ, чи не є двома забороненими неповнолітніми , існування яких можна перевірити в поліноміальний час ?

— Жоро

2

@joro: Так, звичайно, це було б простим рішенням, але я вважаю за краще уникати такої сильної теореми.

— domotorp

1

Алгоритм, про який я згадував, в основному був алгоритмом Auslander-Parter. Проблемою мого алгоритму була частина 7, коли я сказав, що ми можемо розділити графік компонентів. Ми можемо в оригінальному алгоритмі, але в алгоритмі, який я сказав, нам потрібні більш точні визначення компонентів, і мені було не вдається їх детально пояснити. Рекурсивна частина була явно правдивою (якщо ми можемо зробити крок 7, то ми готові), де ви сумніваєтесь у її правильності. Я не оновив свою відповідь, тому що побачив, що це буде приблизно дві сторінки, і я не можу скоротити її більше, і це не добре називати це простим.

— Саїд

3

Зведення до 3-підключеного випадку концептуально просте і його слід пояснювати в будь-якому випадку. Якщо ми не надто зацікавлені в зниженні ефективності до 3-підключеного випадку, це легко зробити. Перевірте всі надрізи на 2 вузлах.

— Чандра Чекурі

6

Я збираюся описати алгоритм. Я не впевнений, що це кваліфікується як "легке", і деякі докази не такі прості.

Спочатку ми розбиваємо графік на 3-з’єднані компоненти, про що згадувала Чандра Чекурі.

Розбийте графік на підключені компоненти.
$v$ $G_i$ $G_i-v$
$v,u$ $G_i$ $G_i-\{ v,u \}$

$G$

$C$ $G$
$C$ $D$
$D$
$U$ $G-V(C)$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $G$ $F$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $C'$ $F$ $G$ $C'$ $C$ $C'$
$G$ $G$

Зауваження:

Стверджувати, що весняне вбудовування Тутте дає площинне вбудовування, не є простим. Мені сподобалось презентація в книзі Едельсбруннера і Харера, обчислювальна топологія, але це лише для триангуляцій. Колін де Вердьєр обговорює вбудовування весни в http://www.di.ens.fr/~colin/cours/algo-graphs-surfaces.pdf , розділ 1.4. Загальна довідка - Linial, Lovász, Wigderson: Гумові смуги, опуклі вкладиші та з'єднання графіків. Combinatorica 8 (1): 91-102 (1988).
Розв’язати лінійну систему рівнянь у поліоміальній кількості арифметичних операцій легко за допомогою гауссового усунення. Вирішити його за допомогою поліономіального числа бітів не так просто.

— хтось
джерело

Я відредагував відповідь, щоб не використовувати мости та графік перекриття.

— хтось

Припустимо, кожен 3-підключений компонент може бути вбудований. Тоді що ми можемо зробити про вихідний графік? Використовуючи, що 3-з’єднані графіки мають (максимум) одне вбудовування, ймовірно, ми можемо закінчити звідси, але цей крок також повинен бути виконаний.

— domotorp

Зрештою, на кроці 4, що таке обличчя на непланарному малюнку? Я думаю, це все ще можна визначити природним шляхом. І в самому кінці "Інше G не планарне" справді здається зовсім нетривіальним.

— domotorp

D

$D$

G [U \cup V (C)]

$G[U\cup V(C)]$

G

$G$

У цьому ми згодні, але я не бачу, як це допомагає.

— domotorp

3

Алгоритм Бойєра та Мірвольда вважається серед найсучасніших алгоритмів тестування на планарність

На межі різання: спрощена O (n) планарність шляхом додавання крайок Боєром та Мірволдом.

У цій книжковій главі описується багато алгоритмів тестування на планарність, і, сподіваємось, ви знайдете досить простий алгоритм.

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Мене не цікавлять передові алгоритми планарності, я хочу щось легко пояснити. У книзі я не зміг знайти нічого простішого, ніж алгоритм Demoucron, Malgrange та Pertuiset (DMP).

— domotorp

0

Що з алгоритмом Хопкрофта та Тарджана 1974 року {1} ?

{1} Хопкрофт, Джон та Роберт Тарджан. "Тестування на ефективність планарності." Журнал ACM (JACM) 21.4 (1974): 549-568.

— Арі Трахтенберг
джерело

Це швидкий і не простий алгоритм.

— domotorp

0

Два алгоритми, обидва в LogSpace

Ерік Аллендер та Міна Махаджан - Складність тесту на планарність
Самір Датта та Гаутам Пракрія - Тестування на рівність переглянуто

Друга значно простіша, ніж перша.

— Анонімний
джерело

Зовсім не просто.

— domotorp