Загальна мова, яку може інтерпретувати лише повна мова Тюрінга

Будь-яка мова, яка не є Тюрінг повною, не може самостійно написати перекладача. У мене немає поняття, де я це читав, але я бачив, що він використовувався не раз. Схоже, що це породжує своєрідну "кінцеву" нетургійну повну мову; ті, які можуть тількиінтерпретувати машину Тюрінга. Ці мови не обов'язково зможуть обчислити всі сукупні функції від природних до природних, а також не обов'язково бути ізоморфними (тобто, можливо, кінцеві мови A і B існують такі, що існує функція F, яку A може обчислити, але B не може). Агда може інтерпретувати систему Годеля T, а Агда є тотальною, так що така кінцева мова повинна бути суворо потужнішою, ніж система Годеля Го, як здавалося б. Мені здається, що така мова була б принаймні такою потужною, як і agda (хоча я не маю жодних доказів, лише хизування).

Чи проводилось якесь дослідження в цій галузі? Які результати відомі (а саме відома така "кінцева" мова)?

Бонус: Я переживаю, що існує патологічний випадок, який не може обчислити функції, які Система Годеля Т. могла б ще інтерпретувати лише машиною Тюрінга, оскільки вона дозволяє обчислити деякі справді незвичайні функції. Це так чи ми можемо знати, що така мова могла б обчислити все, що може обчислити Система Годеля?

Це погано сформульоване питання, тому спочатку розберемося з цим. Я зроблю це в стилі теорії обчислень. Таким чином, я буду використовувати цифри замість рядків: фрагмент вихідного коду - це число, а не рядок символів. Це неважливо, ви можете замінити на s t r i n g протягом нижче.$\mathbb{N}$$\mathtt{string}$

Нехай бути функцією спарювання .$\langle m, n\rangle$

Скажемо, що мова програмування задається такими даними:$L = (P, ev)$

1. вирішується безліч з «діючих програм», і$P \subseteq \mathbb{N}$
2. обчислюваних і часткова функція .$ev : P \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Те, що визначається, означає, що існує загальна обчислювальна карта v a l i d : N → { 0 , 1 } така, що v a l i d ( n ) = $P$$valid : \mathbb{N} \to \{0,1\}$ . Неофіційно ми говоримо, що можна сказати, чи дана строка є дійсним фрагментом коду. Функція e v є істотним перекладачем для нашої мови: e v ( m , n ) виконує код m на вході n - результат може бути невизначеним.$valid(n) = 1 \iff n \in P$$ev$$ev(m,n)$$m$$n$

Тепер ми можемо запровадити деяку термінологію:

1. Мова є всього , якщо є повною функцією для всіх м ∈ P .$n \mapsto ev(m,n)$$m \in P$
2. Мова інтерпретує мову L 2 = ( Р 2 , е v 2 ) , якщо існує у ∈ Р 1 таким чином, що е v 1 ( U , ⟨ п , м ⟩ ) ≃ е v 2 ( n , m ) для всіх n ∈ $L_1 = (P_1, ev_1)$ $L_2 = (P_2, ev_2)$$u \in P_1$$ev_1(u, \langle n, m \rangle) \simeq ev_2(n, m)$$n \in P$і . Тут u - тренажер для L 2, реалізований у L 1 . Він також відомий як універсальна програма для L 2 .$m \in \mathbb{N}$$u$$L_2$$L_1$$L_2$

Можливі й інші визначення " інтерпретує L 2 ", але дозвольте мені зараз не вникати в це.$L_1$$L_2$

Ми говоримо, що і L 2 рівнозначні, якщо вони інтерпретують один одного.$L_1$$L_2$

Існує "найпотужніша" мова машин Тьюрінга (яку ви називаєте "машиною Тюрінга"), в якій n ∈ N - кодування машини Тьюрінга, а φ ( n , m ) - часткова обчислювальна функція, яка "запускає машину Тюрінга, закодовану n на вході m ". Ця мова може переривати всі інші мови, очевидно, оскільки ми вимагали, щоб e v була обчислена.$T = (\mathbb{N}, \varphi)$$n \in \mathbb{N}$$\varphi(n,m)$$n$$m$$ev$

Наше визначення мов програмування дуже розслаблене. Щоб пройти наступне, вимагаємо ще трьох умов:

• реалізує функцію наступника: є s u c c ∈ P така, що e v ( s u c c , m ) = m + 1 для всіх m ∈ N ,$L$$succ \in P$$ev(succ,m) = m+1$$m \in \mathbb{N}$
• реалізує діагональ функція: є d I в г ∈ P такещо е V ( д я г , т ) = ⟨ м , м ⟩ для всіх м ∈ N ,$L$$diag \in P$$ev(diag,m) = \langle m, m \rangle$$m \in \mathbb{N}$
• закритий за складом функцій: якщо L реалізує f і g, то він також реалізує f ∘ g ,$L$$L$$f$$g$$f \circ g$

Класичний результат такий:

Теорема: Якщо мова може інтерпретувати себе, то вона не є тотальною.

Доказ. Припустимо , що є універсальна програма для повного LANGAUGE L , реалізованого в L , тобто, для всіх т Е Р і п Е N , е V ( U , ⟨ м , п ⟩ ) ≃ е v ( т , п ) . Як наступник, діагональ і e v ( u , - ) реалізуються в L , так і їх склад k $u$$L$$L$$m \in P$$n \in \mathbb{N}$

$$ev(u, \langle m, n \rangle) \simeq ev(m, n).$$ $ev(u, {-})$$L$ . Там існує п 0 ∈ P такещо е v ( п 0 , до ) ≃ е V ( U , ⟨ до , до ⟩ ) + 1 , а потім і V ( U , ⟨ п 0 , п 0 ⟩ ) ≃ е v $k \mapsto ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$$n_0 \in P$$ev(n_0, k) \simeq ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$ Оскільки існує число не дорівнює його власного наступника, то це означаєщо L не є повним абощо L Не брати до уваги себе. QED. $$ev(u, \langle n_0, n_0\rangle) \simeq ev(n_0, n_0) \simeq ev(u, \langle n_0, n_0 \rangle) + 1$$ $L$$L$

Зауважте, що ми могли замінити карту спадкоємця будь-якою іншою картою, що не має фіксованих точок.

Ось невелика теорема, яка, на мою думку, усуне непорозуміння.

Теорема: Кожна загальна мова може бути інтерпретована іншою загальною мовою.

Доказ. Нехай - загальна мова. Ми отримуємо загальний L ', який інтерпретує L , приєднавшись до L його оцінювача e v . Точніше, нехай Р ' = { ⟨ 0 , п ⟩ | п ∈ P } ∪ { ⟨ 1 , 0 ⟩ } і визначимо е V ' , як і V ' ( ⟨ б , н ⟩ , $L$$L'$$L$$L$$ev$$P' = \{\langle 0, n\rangle \mid n \in P\} \cup \{\langle 1, 0\rangle\}$$ev'$ Очевидно, що L ' є повнимтому що L є повним. Для того, щоб бачитищо L ' може імітувати L просто взяти у = ⟨ 1 ,

$$ev'(\langle b, n \rangle, m) = \begin{cases} ev(n,m) & \text{if $b = 0$},\\ ev(m_0, m_1) & \text{if $b = 1$ and $m = \langle m_0, m_1 \rangle$} \end{cases}$$ $L'$$L$$L'$$L$ , З тих пір е V ' ( U , ⟨ м , н ⟩ ) ≃ е V ( т , п ) ,мірі необхідності. QED.$u = \langle 1, 0\rangle$$ev'(u, \langle m, n\rangle) \simeq ev(m, n)$

Вправа: [додано 2014-06-27] Мова побудована вище, не закрита за складом. Закріпити доказ теореми , так що L ' задовольняє додаткові вимоги , якщо L робить.$L'$$L'$$L$

$L$$L'$$L'$$L$$L$$L$

Будь-яка мова, яка не є Тюрінг повною, не може самостійно написати перекладача.

Це твердження невірне. Розглянемо мову програмування, в якій семантика кожного рядка - «Ігноруй свій вхід і негайно зупини». Ця мова програмування не є Тюрінгом повною, але кожна програма є інтерпретатором цієї мови.