Чи обмежена домінантна задана задача на плоскі двобічні графіки максимального ступеня 3 NP?

Хто-небудь знає про результат NP-повноти для задачі ДОМІНАЦІЙНОГО НАБОРУ в графіках, обмежених класом плоских двосторонніх графіків максимального ступеня 3?

Я знаю, що це NP-повний для класу плоских графіків максимального ступеня 3 (див. Книгу Гарі та Джонсона), а також для двопартійних графіків максимального ступеня 3 (див. М. Хлебік та Дж. Хлебікова, "Твердість наближення домінуючі задані задачі в обмежених графах ступенів "), але не вдалося знайти поєднання двох в літературі.

Що робити, якщо ви просто зробите наступне: Давши графік , побудуйте інший графік , розділивши кожен край на 4 частини; тут - сукупність нових вузлів, які ми ввели, і.G ′ = ( V ∪ U , E ′ ) G U | U | = 3 | Е $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

Графік двосторонній. Більше того, якщо планарний і має max. ступінь 3, тоді також планарний і має max. 3 ступінь. G G $G'$$G$$G'$

Нехай (мінімальний) домінуючий набір для . Розглянемо ребро яке було розділене для формування шляху у . Тепер ясно, щонайменше, один із знаходиться в . Більше того, якщо у нас більше одного з в , ми можемо модифікувати D ' так, щоб він залишався дійсним домінуючим набором і його розмір не збільшувався. Наприклад, якщо ми маємо в ∈ D ' і C ∈ D ' , ми можемо однаково добре видалити C з D 'G ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c D ′ a , b , c D $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$і додати до D ' . Отже, у нас | D ′ ∩ U | = | Е | .$y$$D'$$|D' \cap U| = |E|$

Тоді розглянемо . Припустимо, що x ∈ V і x ∉ D ′ . Тоді у нас повинен бути вузол a ∈ D ′ такий, що ( x , a ) ∈ E ′ . Отже, є край ( x , y ) ∈ E такий, що у нас є шлях ( x , a , b , c , y ) у G $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$. Оскільки і a ∈ D ′ , ми маємо b , c ∉ D ′ , а для домінування c ми повинні мати y ∈ D ′ . Отже , в G вузла у є сусідом х з у ∈ D . Тобто, D є домінуючим безліччю для G .$a,b,c \in U$$a \in D'$$b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$$G$

З іншого боку , розглянемо (мінімум) домінуюче безліч для G . Побудуйте домінуючий множину D ' для G ' так, що | D ' | = | Д | + | Е | наступним чином : Для ребра ( х , у ) ∈ E , яка була розділена , щоб сформувати шлях ( х , , Ь , з , у ) в G ' , ми додамо до$D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$ якщо x ∉ D і y ∈ D ; додамо c до D ', якщо x ∈ D і y ∉ D ; і в іншому випадку додамо b до D ' . Тепер можна перевірити, що D ' є домінуючим набором для G ' : За побудовоюпереважаютьусі вузли U. Тепер нехай x ∈ V ∖ D ′ . Тоді є y ∈ V такий, що$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$ , а значить, вздовж шляху ( x , a , b , c , y ) маємо a ∈ D ′ , який домінує над x .$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

Підсумовуючи це, якщо має домінуючий набір розміру k , то G ′ має домінуючий набір розмірів не більше k + | Е | , а якщо G ' має домінуючий набір розміру k + | Е | , то G має домінуючий набір розмірів не більше k .$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Редагувати: Додано ілюстрацію. Вгору: оригінальний графік ; середина: графік G ' з "нормалізованим" домінуючим набором; внизу: графік G ' з довільним домінуючим набором.$G$$G'$$G'$