Яка парадигма автоматизованого доведення теореми підходить для формалізації стилю Principia Mathematica?

Я маю книгу, яка, натхненна Расселом Principia Mathematica (PM) та логічним позитивізмом, намагається формалізувати конкретну область, визначаючи аксіоми та виводячи з них теореми. Коротше кажучи, він намагається зробити для своєї області те, що намагався зробити ПМ для математики. Як і PM, це було написано до того, як було можливо автоматизоване доведення теореми (ATP).

Я намагаюся представити ці аксіоми в сучасній системі АТФ і намагаюся вивести теореми, спочатку ті, які були виведені автором (від руки). Я раніше не використовував систему ATP, і зважаючи на безліч варіантів (HOL, Coq, Isabelle та багато інших), кожен зі своїми сильними, слабкими та призначеними програмами, важко визначити, що відповідає моїй конкретній призначення.

Формалізм автора уважно відображає П.М. Є класи (множини?), Класи класів і так далі до 6 рівнів ієрархії. Існує перший порядок і, можливо, логіка вищого порядку. Враховуючи зв'язок з ПМ, я спочатку досліджував Метамат, оскільки кілька теорем ПМ були доведені в MetaMath іншими людьми. Однак, Metamath, звичайно, є перевіряючим доказом, а не системою ATP.

Переглядаючи описи різних систем ATP, я бачу декілька характеристик, таких як реалізація теорії типів Церкви, теорії конструктивного типу, теорії інтуїтивістського типу, введена / нетипізована теорія множин, природна дедукція, типи обчислень лямбда, поліморфізм, теорія рекурсивної функції та існування рівності (чи ні). Коротше кажучи, кожна система, схоже, реалізує зовсім іншу мову і повинна відповідати формалізації різних речей. Я припускаю, що існуючі бібліотеки для формалізації математики не відповідають моєму призначенню.

Будемо дуже вдячні за будь-яку пораду щодо характеристик, які я повинен звернутись у виборі ATP, або будь-яку іншу пораду, прочитану у цьому питанні. Для довідки, ось зразок сторінки з книги. На жаль, як і прем'єр-міністр, він є у позначенні Пеано-Рассела.

Книга -

"Аксіоматичний метод у біології" (1937), Дж. Д. Вудгер, А. Тарскі, В. Ф. Флойд

Аксіоми починаються з мереологічних. Наприклад,

1.1.2 $x$ - сума якщо міститься у частинах , а якщо - будь-яка частина , завжди є що належить має спільні частини з частинами : $\alpha$ $\alpha$ $x$ $y$ $x$ $z$ $\alpha$ $y$

$S =_{D f} \hat{х} \hat{α} {α \subset \vec{П^{'}} х : . (у) : у П х . \supset . (\exists z) . z \in α . \vec{П^{'}} у \cap \vec{П^{'}} z \neq Λ}$ $S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$

Ще раз зауважте, що це позначення Пеано-Рассела (позначення Принципії).

Пізніші аксіоми мають біологічний вміст, наприклад,

7.4.2 Коли гамети двох членів менделівського класу об'єднуються в пари, утворюючи зиготи, ймовірність будь-якої даної пари об'єднується дорівнює іншій парі.

Це, наскільки я розумію, був постулатом менделівської генетики.

Я пропускаю позначення для цього, оскільки це три рядки і спирається на раніше визначений вміст.

Приклад теореми -

Це, мабуть, несе змістовне тлумачення в менделівській генетиці, яку я, не будучи істориком біології, не розумію. У книзі це було виведено вручну.

Дякую!

— Атрія
джерело

Чи існує історичний інтерес до того, щоб точно слідкувати за книгою, чи ви могли просто вилучити суть її (основні установки та аксіоми) та формалізувати теорію у наявній сучасній системі?

— Андрій Бауер

@andrej: Так, вилучення та формалізація суті в сучасній системі - моя мета. Не слід було б виводити кожну теорему, викладену вручну в книзі. Швидше, було б круто виводити теореми не в книзі, а з аксіом у книзі.

— Атрія

У такому випадку ви повинні зрозуміти текст, а потім виконати його в тому, що, як здається, помічник та / або доказ теореми найкраще відповідає вашому призначенню.

— Андрій Бауер

Відповіді:

Principia Mathematica багато в чому відповіла на різні парадокси, виявлені в математичній логіці на зламі 20 століття. Однак сам твір, який часто косо оцінюють як «нечитабельний шедевр», є дещо незграбним і створені сучасніші основи. Щоб описати більшу частину математики, у вас є кілька варіантів: теорія категорій - це одна, теорія типів була популярною в деяких проектах як розширення обчислення лямбда, але найкраще зрозуміла і найбільш фундаментальна, ймовірно, теорія множин.

$\sf ZFC$ $\sf\ ZFC$ $\sf ZFC$

$\sf NBG$ $\sf NBG$ $\sf ZFC$ $\sf NBG$ $\sf ZFC$ . Причиною того, що ця теорія є найбільш підходящою для автоматизованих міркувань, на мою думку, є її виразність у логіці першого порядку, яка допускає ефективне, обгрунтоване і повне обґрунтування обчислення, а кінцева аксіоматизація означає, що вона може бути використана з роздільною здатністю першого порядку, яка дає нам охайний результат: Якщо твердження можна вирішити, згодом буде знайдено доказ.

Пропозиційна логіка недостатньо виразна, і логіка вищого порядку, хоча набагато більш виразна, не допускає ефективного, обґрунтованого та повного обчислення доказів. Логіка першого порядку з теорією множин дозволяє представляти і відображати логічні теорії вищого порядку, тому для фундаментів це приємне місце ... за винятком можливості невизначених висловлювань (завдяки Геделу.), Тому теорії першого порядку мають достатній кількісний показник часто описуються як напіврозкладні.

$\sf NBG$

Зараз сучасні асистенти з доказування часто менше стосуються основ з парадигми Principia Mathematia і є більш корисними для доведення теорем для повсякденної роботи, і тому вони мають певну підтримку для фрагментів логіки вищого порядку, розв'язання SAT / SMT, теорій типів та іншого більше неформальних і менш фундаментальних підходів. Але якщо ви намагаєтесь зробити щось на кшталт Principia Mathematica, доказ теореми дозволу першого порядку з кінцево аксіоматизованою теорією набору першого порядку є ідеальним.

$\sf NBG$

$\sf NBG$ $\sf NBG$

Завдання, яке вам подобається, якщо ви хочете спробувати визначити теорію з точки зору теорії множин, - це знайти реляційні визначення предикатів, які є окремими від теорії множин, що дозволить вам скласти предикати з точки зору теорії множин. Знову ж таки, прикладом цього є те, як ми визначаємо арифметику Пеано в теорії множин, яка сама по собі не має визначення чисел, додавання, множення або навіть рівності. Як приклад безлічі теоретичного визначення такого відношення, як рівність, ми можемо визначити його з точки зору членства як такого:

$\forall$ $\forall$ $\in$ $\leftrightarrow$ $\in$ $\leftrightarrow$

Справедливе застереження: крива навчання для цього дійсно дуже крута. Якщо ви збираєтесь займатися цим, ви, можливо, опинитеся кілька років, перш ніж зрозуміти всю проблему, як це було в моєму досвіді. Можливо, ви захочете вивчити теорію з менш фундаментального підходу, перш ніж взяти на себе величезне завдання вбудувати її в основоположну мову для всього. Зрештою, вам не обов’язково потрібно міркувати про незлічувані набори генів, що змішуються.

— дезакін
джерело

Велике спасибі за цю детальну і з'ясовувальну відповідь! Кілька питань: 1. Вікіпедія стверджує, що «схема заміщення аксіом не потрібна для доказів більшості теорем звичайної математики», і що вона не була однією з оригінальних аксіом Z (її додав F). Чи можливо, що мої теореми можна було б довести без цього, отже, заперечуючи потребу в NBG? Звичайно, я вважаю, що жоден автоматизований доказ теореми не дозволив би використовувати {ZFC - схему аксіоми заміни}, якби це було можливо?

— Атрія

2. З огляду на те, що логіка першого порядку + теорія множин найкраща для фундаментів, я вважаю, що HOL / Ізабел / PVS / тощо (всі вищі порядки) - все непомітні для моєї мети? Також все, що базується на теорії типів (Coq та ін.), Не підходить? Відповідно, подібні Prover9 / Vampire / SNARK були б доречними? У мене є попередній досвід роботи з SNARK. Він може обробляти різноманітну логіку першого порядку з рівністю за роздільною здатністю, але я не впевнений, як представити в ній теорію множин.

— Атрія

Автоматизовані докази теореми можуть використовувати схеми аксіом, але це ускладнює реалізацію. Prover9 не підтримує їх. Наскільки я пам'ятаю, HOL, Isabelle, Coq підтримують теорію наборів першого порядку, і, ймовірно, прекрасно підходять для вашого проекту. Хоча ви можете вбудовувати інші теорії в NBG, це абсолютно не потрібно. Нам не потрібно вбудовувати арифметику Peano в NBG, щоб доводити речі про числа ... але це допомагає вивчити і зрозуміти логічну структуру.

— dezakin

Ви завжди можете вбудовувати свою теорію в теорію множин після цього, визначаючи предикати теорії з точки зору предиката членства. Я б не переймався тим, щоб зробити ваш проект абсолютно фундаментальним одразу. Пізніше це може бути зроблено.

— dezakin

Тоді виявляється, що для мого проекту може бути використаний практично будь-який доказ - навіть такий різний, як Coq, HOL і Prover9. У таких випадках, що було б розумною стратегією прийняття рішень? Мені не всі знайомі, крім SNARK. «Ідеал» - це відкриття нових теорем у наданій системі аксіом.

— Атрія

Кілька пунктів:

$\in$ $\cap, \subset$
Будь-який сучасний інтерактивний помічник підтвердження, безумовно, матиме виразність формалізувати та довести ваші твердження, як запропонував Андрій. Насправді, оскільки, мабуть, є деякі твердження, включаючи арифметичні, було б розумно використовувати таку систему, як Ізабель , Кок або HOL, яка вже має обширні теорії для лікування арифметичних тверджень. Моє наголос на сучасному не є випадковим: великі успіхи в користуванні були досягнуті з часу Automath, і я чесно думаю, що ви зробили б собі послугу, використовуючи все, що не було активно розроблене з 90-х (якщо ви навіть можете отримати його працювати!)
$\LaTeX$

— коді
джерело

Дякую! Це така загальна порада, яку я шукав. Позначення цієї відповіді прийнятою. У мене, мабуть, будуть більш конкретні / технічні питання, коли я прогресую.

— Атрія

Теорія множин створена для логіки першого порядку. Ви можете звести всю математику до теорії першого порядку лише одним предикатом: членство. Звідти ви можете побудувати визначення об'єднання, перетину, підмножини, власного підмножини та інших відносин. Prover9 цілком доречний.

— dezakin

N

$\mathbb{N}$

Prover9 часто використовує задані теоретичні побудови натуральних чисел. Перевірте задачі теорії чисел та аксіоми теорії чисел у TPTP. Вони визначають теорію чисел як визначення теорії множин. Евристика, необхідна ATP для підтвердження теореми роздільної здатності, є саме тим пунктом, який слід обрати для списку корисних даних під час пошуку порожнього пункту, і теорія наборів не є особливим винятком із цього. Інші теорії визначаються в теорії множин реляційними предикатами.

— dezakin