Доступність DAG з O (n log n) простором та O (log n) -time запитами?

Для спрямованого ациклічного графіка чи існує структура даних, яка дозволяє здійснювати запити про доступність, не вимагаючи квадратичного простору або лінійного часу? В ідеалі я шукаю алгоритм, використовуючи лише O (log n) простір на вершину та логарифмічний час, ${\langle}V,E{\rangle}$ де. $n=|V|+|E|$

Інтуїтивно мені здалося очевидним, що така структура даних повинна існувати на основі деякого узагальнення стандартних алгоритмів сортування. Але я був здивований, що не зміг знайти жодного. Все, на що я стикався, або робив припущення про графік (наприклад, планарність), або вирішував складнішу задачу в квадратичному часі / просторі (наприклад, запити, переплетені з модифікаціями графіка).

Сторінка Вікіпедії про доступність охоплює лише один загальний алгоритм (Floyd-Warshall); на решті сторінки розглядаються особливі випадки, пов’язані з припущеннями, такими як графік планарний (це не так).

Папір, що найчастіше цитується в цьому просторі, виглядає як амортизована ефективність структури даних про пошук шляху , але ця та всі статті, які вона цитує, передбачають або O (n ^ 2) простір, або інший час O (n ^ 2), щоб дозволити оновлення графіка, переплетеного із запитами (тобто попередня обробка).

На це запитання не було дано відповідей, але воно стосується більш важкої проблеми дозволу вставлення країв, переплетених із запитами.

Це питання вимагає стійкої (чисто функціональної) структури даних, яка тут не потрібна. Паперу "Постійні набори" потрібен простір але він досягає запитів на час ; Я шукаю алгоритм гіршого та кращого простору. $O(n^2)$ $O(1)$

Переважно шукають тут опори в літературі. Якщо є опитувальний документ про доступність графіків, який не витрачає 99% свого часу на випадок площинного графіка, це допоможе.

graph-algorithms

— user4718
джерело

Пов'язаний питання: cstheory.stackexchange.com/questions/21503 / ... .

— RB

Дякуємо за посилання RB. Це питання та перша відповідь не стосуються простору (за винятком короткої згадки про квадратичне простір, яке саме це питання прагне покращити). Друга відповідь натякає на негативний результат для запитів на відстань (тобто цілочисельне чи реальне значення), а не доступність (тобто {0,1} -значне), що є легшою проблемою. Дякую, хоча!

— user4718

Маршрут швидкого доступу або посилання, згадані Крістіаном Соммером у відповідному питанні, можуть працювати на практиці. Ви шукаєте практичний підхід або теоретичні нижчі межі?

— Андрас Саламон

Для теоретичних нижніх меж, Pǎtrasçu в dx.doi.org/10.1137/09075336X зазначив : «Ще одне завдання виявляється дуже важко: предобработки розріджений орієнтований граф менш ніж простору, таким чином, що запити досяжності (може бути досягнуто з ? ) відповіді даються ефективно. Здається, проблема належить до фольклору, і ми не знаємо жодних нетривіальних позитивних результатів ". Він продовжував доводити нижню межу, яка дозволяє вашим параметрам, але зауважив: "Однак зауважте, що наша нижня межа ще дуже далека від вигаданої жорсткості проблеми". Тож відповідь, здається, така: напевно, ні.

n^{2}

$n^2$

u

$u$

v

$v$

— Андрас Саламон

Див. "Маркування інтервалу" та "2-хмелеве маркування", які, очевидно, є досить ефективними на практиці, як у часі, так і в просторі, і можуть дати тобі що хочеш. Загалом існує досить багато схем «індексації доступності» для DAG.

— jkff
джерело