Ймовірність генерації бажаної перестановки випадковими свопами

Мене цікавить наступна проблема. Нам в якості введення подається "цільова перестановка" , а також упорядкований список індексів . Потім, починаючи зі списку (тобто перестановка тотожності), на кожному кроці ми елемент в на $\sigma\in S_n$ $i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$ $L=(1,2,\ldots,n)$ $t\in [m]$ $i_t^{th}$ $L$ $(i_t+1)^{st}$ елемент, з незалежною ймовірністю . Нехай - ймовірність того, що виробляється як вихід. $1/2$ $p$ $\sigma$

Я хотів би знати (будь-яке) наступне:

Чи є вирішити -повна проблема? $p>0$ $NP$
Чи обчислення точно -повне? $p$ $\#P$
Що можна сказати про наближення до мультиплікативної константи? Чи існує ПТСД для цього? $p$

Цікавим є також варіант, коли заміни не повинні бути суміжними елементами.

Зауважте, що не важко звести цю проблему до невід'ємних контурів (або до цілочисленного потоку багатокомпонентності); те, що я не знаю, - це зменшення в іншому напрямку.

Оновлення: Гаразд, перевірка Гарі та Джонсона, їхня проблема [MS6] ("Генерація перестановок") полягає в наступному. Подаючи вхідну цільову перестановку разом із підмножинами , вирішіть, чи виражається як добуток , де кожне тривіально діє на всі показники не в . Гарі, Джонсон, Міллер та Пападімітріу (на жаль, на платній стіні, на жаль) доводять, що ця проблема є $\sigma\in S_n$ $S_1,\ldots,S_m\in [n]$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$ $\tau_i$ $S_i$ -твердий. $NP$

Якщо заміни не повинні бути суміжними, то я вважаю, що це означає, що вирішити, чи також твердий. Зменшення просто таке: для кожного для того, ми запропонуємо набір "кандидатів свопів", які відповідають повної мережі сортування на (тобто здатні дозволити довільно, в той час як діючи тривіально на все інше). Тоді буде виразним як , якщо і лише тоді, коли він буде доступний як продукт цих свопів. $p>0$ $NP$ $S_1,S_2,\ldots$ $S_i$ $S_i$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$

Це все ще залишає відкритою "оригінальну" версію (де підкачки мають лише суміжні елементи). Для версії підрахунку (з довільними свопами), звичайно, настійно напрошується, що проблема повинна бути -повною. У будь-якому випадку, це виключає PTAS , якщо . $\#P$ $P=NP$

— Скотт Ааронсон
джерело

Не впевнений, що розумію питання. Де ймовірність надходження? Це ви поміняєте своєю ймовірністю 1/2, а не ймовірністю 1/2?

— arnab

@arnab так. Скотт, значить, ти довів це з

, це все ще NP-важко. Мій інтуїція полягає в тому, що вам "оригінальну" проблему має бути легше, але спершу я б спробував пограти зі скороченням паперу.

| S_{i} | = 2

$|S_i|=2$

— didest

Я думаю, що чи можна визначити p> 0 у поліноміальний час.

Проблема, про яку йдеться, може бути легко подана як проблема, що перетинається між країв, де основний графік - це плоский графік, що складається з m +1 шарів, кожен з яких містить n вершин, плюс m вершин 4 ступеня для відображення можливих суміжних свопів. Зауважимо, що планарність цього графа випливає з того, що ми допускаємо лише суміжні свопи.

Якщо я не помиляюся, це підпадає під особливий випадок проблеми розмежування реберних шляхів, яку вирішили Окамура та Сеймур [OS81]. Крім того, Вагнер та Вейхе [WW95] дають алгоритм лінійного часу для цього випадку.

Див. Також лекційні записки Goemans [Goe12], в яких добре викладено теорему Окамура – Сеймура та алгоритм Вагнера – Вайхе.

Список літератури

[Goe12] Мішель X. Goemans. Лекційні записки, 18.438 Розширена комбінаторна оптимізація, Лекція 23 . Массачусетський технологічний інститут, весна 2012. http://math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81] Харуко Окамура та Пол Д. Сеймур. Багатокомпонентність тече в плоских графіках. Журнал теорії комбінації, серія B , 31 (1): 75–81, серпень 1981 р. Http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Доротея Вагнер та Карстен Вейхе. Алгоритм лінійного часу для контурів, що перетинаються ребром, у плоских графах. Combinatorica , 15 (1): 135–150, березень 1995 р. Http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465

— Цуйосі Іто
джерело