Проблема

У мене є непрямий графік (з декількома краями), який буде змінюватися з часом, вузли та краї можуть бути вставлені та видалені. Про кожну модифікацію графіка я повинен оновлювати підключені компоненти цього графіка.

Властивості

Додаткові властивості полягають у тому, що жоден з двох компонентів не буде відновлено. Очевидно, графік може мати цикли до довільної величини (інакше рішення було б тривіальним). Якщо край не містить вузла , він ніколи не прийме цей вузол. Однак якщо , воно може змінитися на .n n ∈ e n ∉ $e$$n$$n \in e$$n \notin e$

Підходи

Наразі у мене є два можливі підходи, але, як ви побачите, вони жахливі:

Повільний стан - менше

Я можу шукати (dfs / bfs) графік, починаючи з модифікованих елементів (елементів) кожного разу. Це економить простір, але повільно, оскільки для кожної модифікації ми маємо O (n + m).

Державний швидкий (-er) (?) Підхід

Я можу зберігати всі можливі шляхи для кожного вузла до всіх можливих вузлів, але якщо я бачу це правильно, це займе O (n ^ 4) пам'яті. Але я не впевнений, яким чином є покращення часу виконання (якщо воно взагалі є, тому що я повинен постійно оновлювати інформацію для кожного вузла в одному компоненті).

Питання

Чи є у вас покажчики, як я можу дізнатися більше про цю проблему чи, можливо, деякі алгоритми, на яких я можу будуватись?

Примітка

Якщо є значне поліпшення часу виконання / пам'яті, я міг би жити з неоптимальним рішенням, яке інколи говорить, що два компоненти - це один, але, звичайно, я вважаю за краще оптимальне рішення.

Існує кілька структур даних, які підтримують вставки краю, видалення ребер та запити про з'єднання (чи є ці дві вершини в одному і тому ж підключеному компоненті?) В полілогіармічний час.

• Моніка Р. Гензінгер та Валері Кінг. Рандомізовані повністю динамічні алгоритми графіків з полілогіармічним часом на операцію . Журнал ОСББ 46 (4): 502—516, 1999.

• Яків Холм, Крістіан де Ліхтенберг та Міккель Торуп. Полі-логарифмічні детерміновані повністю динамічні алгоритми підключення, мінімальне прольотове дерево, 2-ребро та двоякість , Журнал ACM 48 (4): 723—760, 2001.

• Міккель Торпуп. Близько оптимальне повністю динамічне підключення графіка . Зб. 32-й STOC 343—350, 2000р.

Я думаю, що ви шукаєте те, що називається алгоритмом динамічного графіка для декомпозиції компонентів. Алгоритм Холма, де Ліхтенберга та Торупа [HLT01] амортизував полілогіаритмічний час на кожне оновлення краю. Здавна я розглядав проблему минулого разу, тому, мабуть, останнім часом є прогрес.

[HLT01] Джейкоб Холм, Крістіан де Ліхтенберг та Міккель Торуп. Полі-логарифмічні детерміновані повністю динамічні алгоритми для підключення, мінімального діапазону дерева, 2-краю та двоякості. Журнал ОСББ, 48 (4): 723–760, липень 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502095

(Поки дозвольте мені просто дотримуватися запитів про підключення, яких, на жаль, може бути недостатньо для вашої програми.)

Багато попередніх робіт над проблемою динамічного підключення є в моделі оновлення краю: ви вважаєте, що кількість вершин є фіксованим, і ви можете вставляти та / або видаляти краї під час запитів. Якщо ви можете лише вставити (видалити), це додатково (декремент). Якщо ви можете зробити і те, і інше, це повністю динамічно. Робота Thorup, як вказував JeffE (і я в коментарі), - все для оновлення краю.

AFAIK, теоретичне співтовариство CS лише починає дивитись оновлення вершин для загальних графіків. Чан, Патрашку та Родітті в цьому році провели крайню роботу над FOCS 2008 року. Дивіться це посилання для останньої (вересня 2010 р.) Редакції та посилань.