Графічні декомпозиції для поєднання «локальних» функцій вершинних маркування

\sum_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

Якщо максимум або сума береться за всі маркування , добуток береться за всі ребра для графіка і - довільна функція. Цю кількість легко знайти для обмежених графіків ширини дерев і загалом NP-важких для плоских графіків. Кількість належних забарвлень, максимальний незалежний набір та кількість ейлерових підграфів є особливими прикладами вищезазначеної проблеми. Мене цікавлять схеми наближення поліноміального часу для подібних задач, особливо для плоских графіків. Які розклади графіків були б корисні? $V$ $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

Редагувати 11/1 : Як приклад, мені цікаво декомпозицій, які можуть бути аналогічними розширенням кластерів статистичної фізики (тобто, розширення Майєра). Коли представляє слабкі взаємодії, такі розширення сходяться, що означає, що ви могли досягти заданої точності з умовами розширення незалежно від розміру графіка. Чи не означало б це наявність PTAS для кількості? $f$ $k$

Оновити 11.11.2011

Високотемпературні розширення переписують функцію розділу як суму термінів, де умови більш високого порядку залежать від взаємодій вищого порядку. Коли "кореляція розпадається", терміни високого порядку розпадаються досить швидко, так що майже вся маса міститься в кінцевій кількості термінів низького порядку. $Z$ $Z$

Наприклад, для моделі Ізінга розглянемо наступне вираження функції її розділення

Z = \sum_{х \in Х} досвід J \sum_{i j \in Е} х_{i} х_{j} = c \sum_{А \in С} (тан J)^{| А |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Тут проста константа, - це сукупність ейлерових підграфів нашого графіка, це число ребер в підграфі . $c$ $C$ $|A|$ $A$

Ми переписали функцію розділів як суму над підграфами, де кожен доданок у сумі експоненціально карається за розміром підграграфа. Тепер групуйте умови з тим самим показником разом і наближайте , беручи перші доданки. Коли кількість ейлерових підграфів розміром не зростає надто швидко, похибка нашого наближення розпадається експоненціально з . $Z$ $k$ $p$ $k$

Орієнтовний підрахунок є загалом важким, але легким для випадків "кореляційного розпаду". Наприклад, у випадку моделі Ізінга відбувається розпад кореляції, коли росте повільніше, ніж де - кількість ейлерових підграфів розміром . Я вірю в такий випадок, обрізання високої температури розширенням дає PTAS для $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

Інший приклад - підрахунок зважених незалежних наборів - це можна відстежувати для будь-якого графіка, якщо вага досить низький, тому що ви можете змусити проблему виявити кореляційний розпад. Потім кількість апроксимується шляхом підрахунку незалежних множин у регіонах з обмеженим розміром. Я вважаю, що результат STOC'06 Dror Weitz передбачає, що невагомий незалежний підрахунок множин можливий для будь-якого графіка з максимальним ступенем 4.

Я знайшов дві родини "локальних" розкладів - Bethe cluster graph та Kikuchi region graphs. Розкладання, по суті, говорить про те, що ви можете множити підрахунки в регіонах і ділити на підрахунки в регіонах, що перекриваються. Метод графіків регіону Кікучі покращує цю ситуацію, беручи до уваги, що регіональні перекриття можуть самі перекриватися, використовуючи виправлення типу "включення-виключення".

Альтернативний підхід полягає в тому, щоб розкласти проблему на глобальні простежувані частини, як, наприклад, у "Варіаційному висновку над комбінаторними просторами". Однак локальні декомпозиції дозволяють контролювати якість наближення, вибираючи розмір регіону

— Ярослав Булатов
джерело

Те, що я хочу сказати, занадто довго для (але насправді це повинно бути) коментаря.

Якщо я читаю це питання правильно, ви хочете отримати FPRAS (повністю поліноміальну схему рандомізованого наближення) для будь-якої з перерахованих вище величин, кожна з яких включає різні проблеми, пов’язані з P P, як окремі випадки. Зокрема, ви хочете отримати загальний FPRAS у випадку плоских графіків шляхом використання кластерного розширення.

Я сумніваюся, що це можливо через те, що NP-повнота проблеми існування (наприклад, належне забарвлення) передбачає, що відповідна проблема підрахунку (наприклад, кількість належних забарвлень) є повною в #P щодо відновлення AP (зближення- збереження). Дивіться Дайєр, Голдберг, Грінхілл та Джеррум, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Але, можливо, я неправильно прочитав питання.

(Насправді, чи могли б ви пояснити непосвяченим значення високих температур?)

— RJK
джерело

Я поставив відповідь на своє запитання

— Ярослав Булатов,

@Yaroslav: Дякую за широке роз’яснення! До речі, під "регіоном" ви маєте на увазі "вершину підмножини"? (Це я бачу, коли я дивлюся на Heske, JAIR 26 (2006), 153-190.) Тому насправді здається, що ви шукаєте конкретних FPRAS (тобто з певним вибором f) для конкретних класів (наприклад, ступінь при більшість 4) плоских графіків, які використовують те, що ви називаєте "розкладанням графіків" (що є дуже перевантаженим терміном, якщо бути справедливим). Це правильно?

— RJK

Так, регіони є підмножинами вершин, і мене цікавить PTAS для "простежуваних" класів графіків. До речі, ось розроблений приклад розкладу кластера для підрахунку незалежних множин, які, на мою думку, можуть бути перетворені на PTAS для випадків кореляційного розпаду - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/…

— Ярослав Булатов