Гра з наймом секретаря

Це розширення проблеми класичного секретаря .

У грі на роботу у вас є набір кандидатів та замовлення на те, наскільки кваліфікований кожен працівник.$\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$

Wlog, ми припускаємо, що є найбільш кваліфікованим, за ним слід тощо.$c_1$$c_2$

Порядок, коли кандидати на співбесіду вибираються випадково рівномірно, і роботодавцям (очевидно) невідомо.

Тепер припустимо, що у вас є ринок з двома потенційними роботодавцями. У кожному турі новий кандидат проводить співбесіду для обох компаній (назвіть їх ). Під час співбесіди і дотримуються часткового впорядкування всіх минулих кандидатів, включаючи поточного респондента. Потім фірми (незалежно) вирішують, чи наймати сьогоднішнього заявника.$A,B$$A$$B$

На жаль , для , він не може конкурувати в фінансовому відношенні з пропозиція «s, так що якщо і розширює пропозицію для працівника, отримує перевагу.$B$$A$$A$

Крім того, після підписання секретарем компанія може не брати співбесіду з подальшими кандидатами, і конкурент дізнається про підписання .

Мета кожної компанії - найняти кращого кваліфікованого кандидата (на відміну від класичної проблеми, коли одна компанія бажає знайти найкращого секретаря), оскільки відомо, що компанія з кращим секретарем повинна мати можливість перейняти ринок.

Яка оптимальна стратегія як великої фірми ( )?$A$

А як щодо меншої компанії ( )?$B$

Якщо обидві компанії виконують свої стратегії рівноваги, яка ймовірність стає кращим працівником?$B$

---

У відповідній роботі Калай та ін. обговорюється симетрична версія цієї проблеми, коли обидві компанії мають однакову силу залучення кандидатів.

У цій обстановці проста (симетрична) рівновага полягає в тому, що ви наймаєте секретаря, якщо ймовірність, що вона стане кращою за інших кандидатів, становить принаймні 50%.

Як цей результат змінюється в наших умовах?

Для компанії / фірми / гігантської корпорації / "великої фармації" / "МОВИНИ" стратегія не змінюється від симетричної версії:$A$

Розглянемо раунд, де ймовірність побачити лише менших кандидатів після цього . Якщо компанія утримує кандидата, то вона має шанс на перемогу$> .5$$A$$> .5$. Якщо$A$ не тримає кандидата, то компанію $B$ може найняти кандидата та компанію $A$ має шанс на перемогу $< .5$. Отже, очевидно, компанія$A$ найнять (і компанію $B$ намагатиметься найняти) у цій ситуації.

Для кандидата з переможними шансами точно $.5$, $A$ Ви можете брати на роботу чи не приймати на роботу, але $B$ вирішив би наймати, тому що $B$ ніколи не може отримати шанси краще, ніж $.5$.

Якщо компанія $A$ найняли до того, як побачили кандидата з шансом на перемогу $>= .5$, то шанси на кращого майбутнього кандидата існують (і, отже, $B$ виграти) було б $> .5$. Тому$A$ не найме, поки не побачить кандидата, який виграє шанси $>= .5$.

Тому $A$Російська стратегія тотожна симетричному випадку: найміть першого кандидата, який має виграшні шанси $> .5$.

$B$Російська стратегія тоді формується з $A$стратегія на увазі. Очевидно, якщо$A$ наймає (на або) раніше $B$, тоді $B$Стратегія стратегії полягає в тому, щоб найняти наступного кандидата, який краще, ніж $A$, якщо такі є. Також, якщо кандидат приходить з переможними шансами$> .5$, $B$ слід спробувати найняти, хоча $A$ також спробують найняти (і примусити $B$ продовжувати шукати).

Залишилося тільки питання: чи корисно це коли-небудь $B$ наймати, коли шанси на виграш $<= .5$. Відповідь: так.

Інтуїтивно, скажімо, є раунд, де шанси виграти кандидата $.5 - \epsilon$. Крім того, є "ймовірний" майбутній кандидат з переможними шансами$> .5 + \epsilon$. Тоді це пішло б на користь$B$ вибрати більш раннього кандидата.

Дозволяє $d_r$ бути кандидатом, який проводив співбесіду в турі $r$ для усіх $1 <= r <= N$.

Офіційно $B$Російська стратегія: "найняти $d_r$ якщо це робить, вигідніші шанси на виграш, ніж якщо ні ". Далі, як ми обчислюємо таке рішення.

Дозволяє $p_{r,i}$ бути ймовірністю виграшу після співбесіди та найму $d_r$ дано $d_r$ є $i$найкращий опитаний кандидат. Тоді:

$p_{r,i} =$ ймовірність того $d_s < d_r$ для $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

Помітно, $p_{r,i}$ легко обчислюється до постійної точності.

Дозволяє $P_{B,r}$ бути ймовірністю того $B$ виграшів, враховуючи, що жодна компанія не приймала на роботу в тури $1$ наскрізь $r-1$.

Тоді $B$ найняли б $d_r$ якщо ймовірність виграти після найму $d_r$ краще, ніж $P_{B,r+1}$.

Зауважте, що $P_{B,N} = 0$, бо якщо це останній раунд, значить $A$ гарантовано наймають та $B$ нікого не наймають і розпустять.

Потім, в круг $N-1$, $B$ гарантовано спробують взяти на роботу і досягти успіху, якщо тільки $A$наймає також. Тому:

$$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$$

Що призводить до рекурсивної функції:

$$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$$

Це досить очевидно, що $P_{B,r}$може бути обчислена до постійної точності в поліномний час. Остаточне питання: "яка ймовірність$B$ перемога? »Відповідь така $P_{B,1}$ і змінюється в залежності від $N$.

Щодо питання, як часто це відбувається $B$виграти? Я не прорахував точно, але дивлячись$N$ від 1 до 100, виходить, що як $N$ росте, що $B$коефіцієнт виграшів наближається до рівня .4. Цей результат може бути вимкненим, оскільки я просто зробив швидкий скрипт пітона, щоб перевірити, і не звернув пильної уваги на помилки округлення з плаваючими числами. Цілком може виявитись, що реальна жорстка межа становить .5.