Складність проблем, пов'язаних з перестановкою

Враховуючи групу перестановок на та два вектори де - кінцевий алфавіт, який тут не зовсім актуальний, питання - чи існує деяка така, що де означає застосувати перестановку на очікуваним способом. $G$ $[n]=\{1, \cdots, n\}$ $u,v\in \Gamma^n$ $\Gamma$ $\pi\in G$ $\pi(u)=v$ $\pi(u)$ $\pi$ $u$

Припустимо, що задається як вхід кінцевим набором генераторів. У чому складність проблеми? Зокрема, це в НП? $G$ $S$

cc.complexity-theory graph-isomorphism permutations

— користувач27313
джерело

Що ви маєте на увазі під кінцевим набором генераторів? Як це представлено у вхідних даних?

— RB

Я думаю, що прикладом є: два генератори , і - група, породжена і .

S_{1} = (12) (3)

$S_1=(1 2)(3)$

S_{2} = (13) (2)

$S_2=(1 3)(2)$

G

$G$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

— maomao

Взагалі ця проблема буде складною для NP (напевно, це вже вивчено в деяких питаннях, про які я не знаю). Тим не менш, ще одна проблема вирішення (пов'язана також з грою в судоку) може вас зацікавити

— Нікос М.

Більше того, це зворотна проблема (до якої можна наблизитись MAXENT а-ля Джейнес)

— Нікос М.

Питання не в тому, чи є він NP-важким, а чи є він у NP. Тривіальна верхня межа - лише PSPACE.

— Еміль Єржабек

Відповіді:

Нехай де - група перестановок на елементів. Тестування, чи можна зробити в шляхом [1]. Нехай , а потім просто відгадаємо , перевіримо в поліноміальний час, чи чи . Це дає верхню межу . $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$ $S_n$ $n$ $g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$ $\text{NC} \subseteq \text{P}$ $u, v \in \Gamma^n$ $g \in S_n$ $g \in G$ $g(u) = v$ $\text{NP}$

Щоб доповнити цю відповідь:

Показано, що членство в групі належить до (Furst et al. 1980), потім до для абелевих груп (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), до для nilpotent групи (Luks & McKenzie 1988), розв'язувані групи (Luks & McKenzie 1988), групи з обмеженими факторами неабелевого складу (Luks 1986) і, нарешті, всі групи (Babai et al. 1987). Подібній класифікації складності аперіодичних моноїдів належить (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), які показують, що членство в будь-якому фіксованому аперіодичному різновиді моноїдів знаходиться або в , в , в або в $\text{P}$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}$ $\text{AC}^0$ $\text{P}$ $\text{NP}$ $\text{PSPACE}$ (і для цього класу за дуже невеликими винятками).

[1] Л. Бабай, Е. М. Лукс та А. Серес. Перестановні групи в NC. Зб. щорічний симпозіум ACM з теорії обчислень, С. 409-420, 1987. $19^\text{th}$

— Майкл Блондин
джерело

Моя відповідь була невірною, і я її видалив (підгрупа, яку я позначив у своїй відповіді, як правило, не була нормальною). Я думаю, що проблема полягає в P (і, ймовірно, також в NC), але я не маю доказів зараз.

— Цуйосі Іто,

Я не бачу, чому ваша відповідь неправильна. Перестановку справді можна побудувати легко, тоді членство в групі, де групи подані як список генераторів, знаходиться в NC Babai, Luks & Seress 87.

π

$\pi$

— Michael Blondin

Один вибір для π може бути побудований легко, але що робити, якщо цей π не належить до G? Напевно, є спосіб знайти правильний π з самого початку, але зараз я не бачу, як це зробити.

— Цуйосі Іто,

О, ти маєш рацію. Я відредагую свою відповідь до верхньої межі NP.

— Майкл Блондин

Дякуємо за редагування, і вибачте за те, що викликали плутанину через мою неправильну відповідь.

— Цуйосі Іто,

$\Gamma$ $G$ $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

Зменшення від GI: нехай , а - індукована дія на пари. $N = \binom{n}{2}$ $G \leq S_N$ $S_n$

$\mathsf{coAM}$ протокол: Артур випадковим чином вибирає елемент (я не впевнений, що це можна зробити рівномірно, але я думаю, що відомі алгоритми наближаються до рівномірного для цього результату) і застосовують його як до і до . З імовірністю 1/2 він поміняє місцями і , потім подає їх Мерліну і запитує, що це було. $G$ $u$ $v$ $u$ $v$

— Джошуа Грохов
джерело

Поєднуючи мій коментар до відповіді Майкла Блондіна з вашою відповіддю, тепер я боюся, що я випадково поклав на думку, що GI знаходиться в P (і, ймовірно, також в NC).

— Цуйосі Іто,