Альгебра орієнтована галузь теоретичної інформатики

У мене дуже сильна основа алгебри, а саме

• комутативна алгебра,
• гомологічна алгебра,
• теорія поля,
• теорія категорій,

і зараз я вивчаю алгебраїчну геометрію.

Я фахівець з математики зі схильністю перейти на теоретичні інформатики. Маючи на увазі вищезазначені поля, яке поле було б найбільш підходящим полем теоретичної інформатики, до якого слід переключитися? Тобто, в якому полі можна використовувати теорію та математичну зрілість, отримані в результаті перерахованих вище полів?

Останнім часом були розроблені теорії залежних типів, які відносять системи типів до типів гомотопії .

Зараз це порівняно невелике поле, але зараз проводиться багато захоплюючої роботи, і, можливо, багато низько висячих плодів, особливо це стосується перенесення результатів алгебраїчної топології та гомологічної алгебри та формалізації поняття про вищі індуктивні типи .

Алгебраїчна геометрія широко використовується в теорії алгебраїчної складності і, зокрема, в теорії геометричної складності. Теорія представництва також є визначальною для останнього, але вона ще корисніша у поєднанні з алгебраїчною геометрією та гомологічною алгеброю.

Ваші знання з теорії поля були б корисні в криптографії, в той час як теорія категорій широко використовується в дослідженнях мов програмування та систем друку, обидві вони тісно пов'язані з основами математики.

Теорія поля та алгребраїчна геометрія були б корисні в темах, пов'язаних з кодами виправлення помилок, як у класичній обстановці, так і при вивченні локально декодируваних кодів та розшифровки списків. Я вважаю, що це повертається до роботи над кодами Рід-Соломона та Рід-Мюллера, які потім були узагальнені до алгебраїчних геометричних кодів. Дивіться, наприклад, цей розділ книги про класичну теорію кодування з точки зору алгебраїчних геометричних кодів, це коротке опитування про локально декодирувані коди, і цей відомий документ про розшифровку списків Рід-Соломона та, взагалі, алгебраїко-геометрійних кодів.

Існують деякі проблеми теорії обчислювального навчання, машинного навчання та комп'ютерного зору, які можна вирішити за допомогою комутативної алгебри та алгебраїчної геометрії. Наприклад, конвергенція алгоритму розповсюдження віри, алгоритму передачі повідомлень для байєсівського висновку, може бути сформульована з точки зору характеристики афінної різноманітності системи поліноміальних рівнянь .

Ви думали про перегляд комп’ютерної алгебри? Аксіома - це система комп’ютерної алгебри, де система типів моделюється за Теорією Категорії (або Універсальною Алгеброю, залежно від Вашого погляду). Є ще два похідні Axiom FriCAS і OpenAxiom .

Якщо вас цікавить Теорія категорій, то система типів може бути одне, на що слід звернути увагу.

У Аксіомі кожен "елемент" (наприклад, "1", "5 * x ** 2 + 1") є елементом Домену. "Домен" - це об'єкт Аксіоми, оголошений членом певної категорії (наприклад, Цілий, Поліном (Цілий). Категорія Аксіома - це об'єкт Аксіоми, оголошений членом виділеного символу "Категорія" (наприклад, Кільце, Поліном) (R, E, V)).

Для категорій багатонаступництва серед категорій існує решітка успадкування. наприклад, категорія Monad успадковується від SetCategory, Monoid від Monad, Group від Monoid тощо, тощо.

Існує також поліморфізм вищого порядку, схожий на Generics на Java.

Кілька дій всередині Axiom можна розглядати як функціонерів, але це було б досить багато, щоб зайнятися тут!

Якщо ви просто хочете використовувати Axiom, не турбуючись про Теорію категорій, як типового кінцевого споживача, то символічна система обчислень є саме правильним програмним забезпеченням для вивчення окремих алгебр.

$L \subseteq X^{\ast}$

Наступні люди використовували цей алгебраїчний погляд у випадку звичайних мов: Семюель Ейленберг з теорії автоматів, Жан Берстель , Жан-Ерік , Марсель Шютценберг і теорія Крона-Родоса .

Також існує нетривіальна алгебра, яка бере участь у роботі над гіпотезою Черні , більшість з яких є досить комбінаторною. Але останнім часом я бачив більше, що робиться з лінійною алгеброю, теорією кільця та теорією представлення, шукаю роботу Бенджаміна Штейнберга та Хорхе Альмейда .

До речі, в цих областях ви можете досить добре поєднатись із теорією Semigroup-, Monoid- та Group, але теорія категорій та теорія гомотопії не використовуються в цій галузі так сильно. Але, можливо, цікаво відзначити, що С. Ейленберг був одним із батьків-засновників Теорії категорій, незважаючи на це до того, як він був залучений до теорії автоматів.

Дисертація Брента Йорггея , хоч і досі залишається лише проектом, виконує дивовижну роботу з пояснення того, чому ваші інтереси стосуються TCS.

Ось розмова Джояла минулого квітня про пов'язані матеріали.

Я не знаю, чи розглядали ви галузь, але компанія Ayasdi займається дивовижною роботою, застосовуючи безліч гомотопій та інших прикладних топологічних методів у науці даних. Вони поєднують багато теорії з додатками. В основному, щоб побачити, що вони збираються, подивіться на веб-сайт Stanford Comptop. (Більшість людей прийшли звідти).

На додаток до того, що всі говорили (я думаю, найбільше застосування цих галузей справді є у типах систем):

• Теорія решітки та часткові порядки в цілому застосовуються досить небагато для аналізу поведінки розподілених систем та для аналізу потоків даних у компіляторах.
• Я також бачив з'єднання Галуа, застосовані до машинного навчання (зокрема, класифікація тексту: з'єднання Галуа між підмножинами лівої та правої вершин двостороннього графіка документа / слова, що дозволило значно прискорити алгоритм).

Зв'язки між алгеброю та теоретичною інформатикою дуже міцні. Нік Дойє вже згадував Комп'ютерну алгебру, але він чітко не включав теорію систем переписування, яка є важливою частиною Комп'ютерної алгебри, з додатками для автоматичного вирішення рівнянь та автоматичного міркування. Системи перезапису рядків - важлива підгалузь, що застосовується в теорії обчислювальної групи. Перевірте, наприклад, книгу "Системи струнного переписування" Рональда Книга та Фрідріха Отто.

Існує також зв'язок між теорією графів і алгеброю, яка включає, наприклад, добре розроблену спектральну теорію графіків і складних мереж, а також теорію графіків симетрії (граблі Кейлі, вершинно-перехідні графіки та інші типи симетричних графіків , які широко використовуються як моделі для взаємозв'язку мереж паралельних комп'ютерів). Перегляньте книгу "Теорія алгебраїчної графіки" Кріс Годсіл та Гордон Ройл на предмет огляду різних тем.

Перевірте ситуацію в комп’ютерному зорі. Існує багато тем алгоритмічного типу, для яких перші три області, які ви перераховуєте, дуже корисні.