Складність проблеми перетину козета

З огляду на групу симетрії $S_n$ та дві підгрупи $G, H\leq S_n$ та $\pi\in S_n$ , чи має місце $G\pi\cap H=\emptyset$ ?

Наскільки мені відомо, проблема відома як проблема перетину козета. Мені цікаво, у чому складність? Зокрема, чи відомо, що ця проблема є коам?

Крім того, якщо $H$ обмежується абелевою, якою стає ця складність?

Помірно експоненціальний час і (для протилежної задачі, як зазначено: Перехрестя Козета, як правило, вважається відповіддю "так", якщо косети перетинаються, навпаки тому, як це зазначено в OQ.)$\mathsf{coAM}$

Лукс 1999 ( безкоштовна авторська копія ) дав алгоритм -час, тоді як Бабай (див. Його кандидатську дисертацію 1983 р., Також Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 , та журнал, що з'явився) дав 2 ˜ O ( $2^{O(n)}$алгоритм часу, який залишається найвідомішим на сьогоднішній день. Такізоморфізм графів зводиться до квадратичного розміром суміжного класу перетину, покращуючи це2 ~ O (п 1 / 4 - е )будеполіпшенню стану техніки для ізоморфізму графів.$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Розглянемо доповнення, тобто там, де вас просять перевірити, чи . Як я зазначив у цій відповіді , відчуваючи чи г ∈ ⟨ г 1 , ... , г до ⟩ є в NC ⊆ P [1]. Таким чином, ви можете здогадатися g , h ∈ S n і перевірити в поліноміальний час, чи g ∈ G , h ∈ H і g π = h . Це дає $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$Верхня межа, і, отже, ваша проблема полягає в .$\text{coNP}$

Правка : Показано в [2, Thm. 15], що проблема перетину козета знаходиться в . Як зазначалося тут , с. 7, тому проблема перетину козета не є повною NP, якщо тільки ієрархія полінома часу не руйнується. Більше того, тут зазначається , с. 6, що Лукс показав, що проблема є в Р, коли Н розв'язується, що включає випадок H абеляна.$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  Л. Бабай, Е. М. Лукс та А. Серес. Перестановні групи в NC . Зб. 19-й щорічний симпозіум ACM з теорії обчислень, с. 409-420, 1987.

[2] Л. Бабай, С. Моран. Ігри Артура-Мерліна: рандомізована система доказів та ієрархія класів складності . Журнал комп'ютерних та системних наук, т. 36, випуск 2, стор 254-276, 1988.