Тестування власності в інших показниках?

Існує велика література про "тестування властивостей" - проблема внесення невеликої кількості запитів у чорну скриньку до функції для розрізнення двох випадків:$f\colon\{0,1\}^n \to R$

1. - член деякого класу функцій$f$$\mathcal{C}$

2. є ε -far з кожної функції в класі C .$f$$\varepsilon$$\mathcal{C}$

Діапазон функції іноді булевий: R = { 0 , 1 } , але не завжди.$R$$R = \{0,1\}$

Тут, -far , як правило , слід розуміти відстань Хеммінга: частка точок F , які повинні були б бути змінені , з тим щоб місце F в класі C . Це природна метрика, якщо f має булевий діапазон, але здається менш природною, якщо діапазон, скажімо, дійсний.$\varepsilon$$f$$f$$\mathcal{C}$$f$

Моє запитання: чи існує низка літератури про тестування властивостей, яка перевіряє наявність близькості до якогось класу щодо інших показників?$\mathcal{C}$

Так, є! Я наведу три приклади:

1. Враховуючи набір S та "таблицю множення" над S x S, розглянемо проблему визначення того, чи вводиться опис абелевої групи чи далеко вона не одна. Фрідль, Іваньос та Санта в STOC '05 показали, що існує тестер властивостей з полілогом складності запитів (| S |), коли вимірювання відстані стосується відстані редагування таблиць множення, що дозволяє додавати та видаляти рядки та стовпці з таблиця множення Ця ж проблема була розглянута також у моделі відстані Хеммінга Ергуна, Каннана, Кумара, Рубінфельда та Вісванатана (JCSS '00), де вони показали складність запитів O ~ (| S | ^ {3/2}).

2. Існує велика кількість роботи, проведеної над тестуванням властивостей графіків, коли графіки представлені за допомогою списків суміжності та існує обмеження на ступінь кожної вершини. У цьому випадку модель відстані - це не саме відстань Хеммінга, а кількість ребер, які можна додати чи видалити, зберігаючи обмежену ступінь.

3. У тісно пов'язаному дослідженні властивостей тестування розподілів були вивчені різні уявлення про відстань між розподілами. У цій моделі вхід - це розподіл ймовірностей над деяким набором, і алгоритм отримує доступ до нього шляхом вибірки з набору за невідомим розподілом. Потім необхідний алгоритм, щоб визначити, чи задовольняє розподіл якесь властивість чи "далеко" від нього. Тут вивчені різні поняття відстані, такі як L_1, L_2, земляний рух. Тут також вивчалися розподіли ймовірностей за нескінченними доменами ( Адамашек-Цумай-Солер, SODA '10 ).

Зазвичай це не називається тестуванням властивостей (і це насправді не так), але велика частина роботи над вирішенням властивостей матриці дивиться на маленький індукований мінор. Це дуже схоже на мету при тестуванні власності. Дивіться, наприклад, статті Рудельсона та Вершиніна:

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1255449

Є більш ранні статті Фриз-Каннана. Справа в тому, що типово метрика, яку вони використовують, є деякою матричною нормою, такою як спектральна норма, норма фробеніуса або норма розрізу. Якщо ви хочете, ви можете розглядати деякі з цих результатів як алгоритми тестування властивостей у метриці, відмінній від відстані Хеммінга.

Робота Бермана, Расходнікова та Ярославця [1] вводить тестування функцій щодо відстаней L p , для p ≥ 1 . Він призначений для фіксації ситуацій, коли значення шуму є важливим (а не більш крихкою відстані Хеммінга). (Деякі результати, що стосуються відстані L p, можна знайти також у [2]).$f\colon [n]^d\to \mathbb{R}$$L_p$$p\geq 1$$L_p$

Див., Наприклад, Розділ 12 (Розділ 12.4) вступу Голдріха до Тестування властивостей для обговорення тестування щодо редагування та відстані .$L_p$

(Зверніть увагу, що тестування не є тестом на тестування на розподіл (як правило, щодо L 1 / загальна зміна), як (i) об'єктне тестування не є однаковим (функціонує, чи розподіл ймовірностей), (ii) тип доступу різні (типово на основі запиту та вибірки) та (iii) відстань L 1 , визначена в [1], нормалізується (на n ) для питань масштабування, а не в тестуванні розподілу (оскільки маса завжди 1 за визначенням).$L_1$$L_1$$L_1$$n$$1$

[1] тестування$L_p$ . Берман, Расходнікова та Ярославцев, STOC'14.

$k$