Задовільність першого замовлення, яка не має кінцевих моделей

З теореми Церкви ми знаємо, що визначення задоволеності першого порядку загалом не визначається, але є кілька методів, які ми можемо використовувати для визначення задоволеності першого порядку. Найбільш очевидним є пошук скінченної моделі. Однак існує ряд тверджень у логіці першого порядку, які ми можемо продемонструвати, що не мають обмежених моделей. Наприклад, будь-який домен, в якому функціонує ін'єкційна та неінфективна функція, є нескінченним.

Як ми можемо продемонструвати задоволення для заяв першого порядку, коли немає кінцевих моделей або існування кінцевих моделей невідомо? За допомогою автоматизованого доведення теореми ми можемо визначити задоволеність кількома способами:

Ми можемо заперечувати речення та шукати протиріччя. Якщо таке знайдено, ми доводимо коректність твердження першого порядку та, таким чином, задоволення.
Ми використовуємо насичення з роздільною здатністю і не вистачаємо умовиводів. Частіше за все ми будемо робити нескінченну кількість висновків, тому це не є надійним.
Ми можемо використовувати форсинг, який передбачає існування моделі, а також узгодженість теорії.

Я не знаю нікого, хто реалізує форсинг як механізовану техніку автоматизованого доведення теорем, і це виглядає непросто, але мені цікаво, чи було це зроблено чи зроблено спробою, оскільки це було використано для підтвердження незалежності для ряду тверджень в теорії множин, яка сама не має кінцевих моделей.

Чи відомі інші методи пошуку задоволеності першого порядку, застосовні для автоматизованих міркувань, чи хтось працював над алгоритмом автоматизованого форсування?

reference-request lo.logic automated-theorem-proving

— дезакін
джерело

Підхід Infinox може бути відповідним вашому питанню (без відповіді на нього). Ідея полягає у використанні доказів теореми, щоб продемонструвати відсутність кінцевих моделей. Дивіться, наприклад, gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/22058/1/gupea_2077_22058_1.pdf

— selig

Ось кумедний підхід Брок-Наннестада та Шюрмана:

Істинні монадійські абстракції

Ідея полягає в тому, щоб спробувати перевести речення першого порядку в монадійну логіку першого порядку , "забувши" деякі аргументи. Звичайно, переклад не є завершеним : є декілька послідовних речень, які стають непослідовними після перекладу.

Однак монадійна логіка першого порядку рішуча . Отже, можна перевірити, чи відповідає переклад формули : $\overline F$ $F$

\bar{F} ⊬ ⊥

$\overline F\not\vdash\bot$

може бути перевірений процедурою прийняття рішення, і має на увазі

F ⊬ ⊥

$F\not\vdash\bot$

З чого випливає, що має модель за теоремою про повноту. $F$

Цю тему можна застосувати дещо більш загально: визначте вирішальну підлогіку вашої проблеми, а потім перекладіть свою проблему на неї таким чином, щоб зберегти істину. Зокрема, сучасні SMT-розв'язувачі, такі як Z3 , отримали дивовижний результат у доведенні задоволеності формул за допомогою кількісних показників (за замовчуванням , але можуть добре формулах ). $\Sigma^0_1$ $\Pi^0_2$

Здається, форсування, здається, далеко не доступне для автоматизованих методів.

— коді
джерело

Це здається мені дивним. Я намагаюся уявити переклад теорії множин NBG в монадійну логіку, але не можу уявити, що це так просто. Я думаю, що це добре працює для справжніх закритих полів або арифметики пребургера, як рішучі теорії першого порядку з кінцевими моделями, але важко уявити, що це працює для чогось такого виразного, як теорія множин.

— dezakin

З NGB все важко в автоматизованих міркуваннях. Зауважте, що стаття статті полягає не в тому, щоб використовувати один переклад, а спробувати багато можливих перекладів у пошуках моделі.

— коді