Який мінімальний розмір ланцюга, що обчислює PARITY?

Класичним є результат, коли кожен ланцюг вентилятора 2 AND-OR-NOT, який обчислює PARITY з вхідних змінних, має розмір принаймні $3(n-1)$ і це різко. (Ми визначаємо розмір як кількість воріт І та АБО.) Доказ є усуненням воріт і, здається, не виходить, якщо дозволити довільну вентиляцію. Що відомо для цієї справи?

Зокрема, хтось знає приклад, коли більший вентилятор допомагає, тобто нам потрібно менше воріт?$3(n-1)$

Оновлення 18 жовтня. Марціо показав, що для навіть 5 воріт достатньо за допомогою форми CNF PARITY. Це має на увазі кордон ⌊ 5$n=3$$5$$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$для загального$n$ . Чи можете ви зробити краще?

Можна обчислити паритет, використовуючи лише 2.33n + C ворота. Конструкція досить проста і дана в цій статті.

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

Ось приклад схеми для парності 6 змінних із використанням лише 12 воріт (кожен затвор - це ворота AND, коло біля входу воріт означає, що цей вхід перевернутий). Зауважимо, що схема для парності 6 змінних, побудована складанням DNF-блоків (як у верхній межі Марціо), складається з 13 воріт.

Я перевірив, що для n = 2,3,4,5,6 розміри оптимальних схем - 3,5,8,10,12. Ці значення також є розмірами схем, які дають верхню межу 2,33n. Я досі не знаю, чи 2.33n - це розмір оптимальної схеми для кожного n. Навіть більше, я не знаю розмір оптимальної схеми для паритетності 7 змінних (є два можливі значення, 14 і 15).

Ця нижня межа усунення ворота не відповідає верхній межі Марціо, але це початок.

Пропозиція: Кожен необмежений вентилятор І / АБО / НЕ ланцюгових обчислювальних паритетів на змінних містить щонайменше 2 n - 1 і ІЛІ АБО.$n\ge2$$2n-1$

Для зручності я буду використовувати модель, де єдиними воротами є AND-ворота, але ми допускаємо заперечні дроти. Неважко помітити, що для n = 2 необхідні ворота , отже, достатньо показати, що якщо C - паритет обчислень мінімального розміру на n > 2 змінних, ми можемо знайти обмеження однієї змінної, яке вбиває принаймні дві брами.$3$$n=2$$C$$n>2$

Якщо у якоїсь змінної є щонайменше два позитивних батьків (тобто вона з'єднана безмежними проводами до двох різних воріт), встановлення цієї змінної у 0 вбиває батьків, і ми закінчили; так само, якщо у нього є два негативних батьки. Таким чином, ми можемо вважати, що кожна змінна має максимум одного позитивного та максимум одного негативного батьківського.$x_i$$0$

Нехай - це нижній рівень в ланцюзі. Без втрати загальності a = x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ . Встановіть x 1 = 0 , що примушує a = 0 і вбиває його. Обмежений контур С ' все ще обчислює паритет, зокрема він залежить від х 2 , отже, х 2 має від'ємний батьківський b = ¬ x 2 ∧ c 1 ∧ ⋯ ∧ c r . Зауважте, що в$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$ , no c j залежить від x 2 . Якби було призначення x 3 , … , x n, яке (зверху x 1 = 0 ) робить деяку c j помилковою, схема, обмежена цим призначенням, була б постійною, що суперечило б тому, що вона обчислює x 2 або ¬ x 2 . Таким чином, у C ′ всіобчислювальні константи c j 1 , а b обчислюються ¬ $C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$$\neg x_2$, отже, ми можемо усунути його разом із .$a$

EDIT: Як я дізнався з статті Юрія Комбарова, це нижня межа , а також ⌊ $2n-1$верхні межі, що маються на увазі у відповіді Марціо Де Біасі, були спочатку доведені в$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Інго Вегенер, Складність функції паритету в необмежених вентиляторних, необмежених глибинних схемах , Теоретична інформатика 85 (1991), вип. 1, с. 155–170. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Я розширюю свій коментар:

1) вентилятор AND AND може бути змодельований за допомогою k - 1 вентилятора 2 AND Gates (і те саме стосується і ІЛІ затвора); тож, якщо I i ≥ 2 є вентилятором затвора g i, має виконуватися таке співвідношення:$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

2) якщо ви дозволите довільний вентилятор, тоді ви можете перемогти межі; наприклад, розгляньте PARITY на 3 змінних ( x 1 , x 2 , x 3 ) ; наступна схема обчислює його лише з 5 довільних воріт вентилятора:$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

Це розширений коментар, щоб показати, що дає аргумент Еміля, якщо ми спробуємо довести це $5n/2$

Якщо є буквальне з 3 батьками, ми можемо усунути всі 3 за допомогою однієї змінної.

Якщо два літерали зустрічаються разом у двох різних воротах, ми можемо застосувати головний аргумент з відповіді Еміля, знову усунувши 3 ворота з однією змінною.