Якщо P = BQP, чи означає це, що PSPACE (= IP) = AM?

18

Нещодавно Watrous та ін довели, що QIP (3) = PSPACE - чудовий результат. Це було для мене найменше дивовижним результатом, і це змусило мене думати ...

Мені було цікаво, що робити, якщо квантові комп’ютери можуть бути ефективно змодельовані класичними комп'ютерами. Чи може це бути ПРОСТО пов’язано з розділенням між IP та AM? Я маю на увазі те, що для ІР характерна поліноміальна кількість раундів класичної взаємодії, тоді як АМ має 2 раунди класичної взаємодії. Чи може моделювання квантових обчислень зменшило кількість взаємодії для ІР з полінома до постійного значення?

— Зела 02
джерело

3

Я змінив "PSPACE (IP)" в заголовку на "PSPACE (= IP)", оскільки "A (B)" є менш поширеним способом позначення класу "

".

A^{B}

$A^B$

— Tsuyoshi Ito

2

До речі, строго кажучи, я думаю, що ваша інтуїція базується на напрямку QIP (3) ⊇PSPACE, який був відомий у 1999 році: Watrous 2003 , arxiv.org/abs/cs.CC/9901015 . Насправді це перша стаття, в якій обговорюються квантові інтерактивні докази.

— Цуйосі Іто

18

Чудове запитання! Коротка відповідь: не відомі такі наслідки, як ; але це не означає, що не варто намагатися доводити ...

П = Б Q П \Rightarrow Я П = А М

$\mathsf{P} = \mathsf{BQP} \Rightarrow \mathsf{IP} = \mathsf{AM}$

Я б сказав, однак, що знайти таке значення може бути малоймовірним. Я думаю, що повідомлення теорії квантової складності полягає в тому, що, хоча квантові комп'ютери не є універсальною панацеєю для вирішення важких проблем, вони можуть бути набагато потужнішими, ніж класичні комп'ютери в певних конкретних обставинах.

Наприклад, за складністю запитів квантові алгоритми можуть ефективно вирішити певні проблеми, класичні з них, мабуть, не можуть, коли вхід обіцяє підкорятися якійсь гарній глобальній структурі. Наприклад, алгоритм Шор заснований на алгоритмі для швидкого пошуку невідомого періоду функції, обіцяної періодичною. З іншого боку, алгоритми квантового запиту не надто сильніші за класичні для вирішення задач, у яких на вході не передбачається спеціальної структури. (Див Бурман і де Вольф опитування за складністю запитів для цієї останньої точки.)

Точно так само я думаю, що результати кажуть нам, що взаємодія несподівано слабка (навіть якщо ), але це квантове обчислення несподівано сильне, конкретно в контексті взаємодії з обчислювально необмеженими доказчиками. $\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

— Енді Друкер
джерело

16

Я погоджуюся з тим, що написав Енді, і я хотів, щоб ця "відповідь" була коментарем до його відповіді, але це, очевидно, занадто довго для коментарів ...

У будь-якому разі, може бути корисним сказати щось більше про те, який аспект квантового обчислення (або, можливо, квантова інформація) дозволяє забезпечити стримування PSPACE у QIP (3). Відомі докази цього стримування не випливають із здатності перевіряльника обчислювати функції, які, можливо, обчислюються квантовим поліномним часом. Більш точне пояснення полягає в тому, що докази використовують конкретні способи, яким доказчик може маніпулювати заплутаними квантовими станами, якими він ділиться з верифікатором. Якби довідник не зміг би маніпулювати квантовою інформацією, або якщо він міг би якось магічно маніпулювати спільними заплутаними станами сильніше, ніж це дозволяє теорія квантової інформації, докази не спрацювали.

Отже, на мій погляд, стримування PSPACE у QIP (3) нічого не говорить про взаємозв'язок між AM та PSPACE.

— Джон Вотрос
джерело

11

Відповіді Джона Уотроуса та Енді Друкера чудові для розуміння деяких питань, що стосуються.

$P = BQP$ $PH$ $PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

$IP = PSPACE$

[1] Л. Фортнов та Дж. Роджерс. Обмеження складності в квантових обчисленнях . Журнал комп'ютерних та системних наук, 59 (2): 240-252, 1999 р. Спеціальний випуск для вибраних робіт з 13-ї конференції IEEE про обчислювальну складність. Також доступні тут .

— Джошуа Грохов
джерело

6

Інші відповіді є чудовими, і це не має на меті замінити або суперечити будь-якій з них, а просто запропонувати певну інтуїцію, чому P = BQP не обов'язково означає рівність між квантовими та класичними інтерактивними системами доказування (для фіксованих раундів тощо). Однак ми тепер знаємо, що QIP = IP завдяки роботі Джайна, Джи, Упадхяя та Вотроуса, тому я, безумовно, не намагаюся стверджувати, що таких рівностей ніколи не буває.

Якщо припустити, що P = BQP, то ми дізнаємось щось лише про те, на які проблеми вирішення можна відповісти квантовою та класичною моделями. Це не те саме, що наводити на думку, що моделі насправді однакові. Основна відмінність полягає в тому, що квантові комп'ютери можуть обробляти стани в суперпозиції, а це означає, що їх вхід і вихід не повинні обмежуватися класичними станами. Це дуже важлива відмінність між квантовою та класичною моделями, оскільки квантовий вхід / вихід дає можливість запитувати оракули із суперпозиціями класичних станів або спілкуватися з квантовими станами (які потенційно можуть мати експоненціальні класичні описи) між верифікатором і доказом. Дійсно, існують оракули, які відокремлюють BQP від P, і квантова комунікація призводить до зниження складності комунікацій для ряду проблем. Таким чином,

З цієї причини питання про те, чи P = BQP, не є вирішальним фактором того, чи є квантова та класична моделі однаковими в ситуаціях, коли використовують запити комунікації / промови.

— Джо Фіцсімонс
джерело