Приклади фазових переходів твердості

Припустимо, у нас є проблема, параметризована реальним параметром p, який "легко" вирішити, коли і "hard", коли p = p 1 для деяких значень p 0 , p 1 .$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

Одним із прикладів є підрахунок спінових конфігурацій на графіках. Підрахунок належних кольорових забарвлень, незалежних наборів, ейлерові підграграфи відповідають функціям розділення відповідно хардкор, моделей Поттса та Ізінга, які легко визначити для "високої температури" та важких для "низької температури". Для простого MCMC фазовий перехід твердості відповідає точці, в якій час перемішування стрибає від полінома до експоненціалу ( Martineli, 2006 ).

Інший приклад - висновок у імовірнісних моделях. Ми «спростимо» дану модель, взявши комбінацію , p із моделлю «всі змінні незалежні». Для p = 1 проблема тривіальна, для p = 0 вона нерозв'язна, і поріг твердості лежить десь посередині. Для найпопулярнішого методу умовиводу проблема стає важкою, коли метод не зможе конвергуватися, а точка, коли це відбувається, відповідає фазовому переходу (у фізичному розумінні) певного розподілу Гіббса ( Tatikonda, 2002 ).$1-p$$p$$p=1$$p=0$

Які ще цікаві приклади твердості "стрибка", коли змінюється деякий безперервний параметр?

Мотивація: побачити приклади іншого «виміру» твердості, окрім типу графіка чи логічного типу

У стандартному наближенні до найгіршого випадку існує багато різких порогів, оскільки коефіцієнт наближення змінюється.

Наприклад, для 3LIN, що задовольняє якомога більше заданих булевих лінійних рівнянь по 3 змінних, існує простий алгоритм наближення випадкового призначення для наближення 1/2, але будь-яке наближення краще, ніж деяке t = 1/2 + o (1), вже є настільки ж важкий, як точний SAT (передбачається, щоб вимагати експоненціального часу).

Я не точно впевнений, чи це тип проблеми, який ви шукали, але фазовий перехід проблем NP-Complete є (відомим на сьогодні) явищем. Дивіться статті " Брайана Хейса" "Не можу отримати задоволення" про фазовий перехід 3-SAT та "Найпростіша важка проблема" про перехід фазового переходу числа, для деяких популярних статей з цього приводу.

Сельман і Кіркпатрік вперше чисельно показали, що фазовий перехід для 3-SAT був тоді, коли відношення пропозицій до змінних було приблизно 4,3.

Гент і Уолш вперше чисельно показали, що фазовий перехід для проблеми з розділенням чисел стався, коли співвідношення біт до довжини списку становило близько 1. Пізніше це було аналітично доведено Боргсом, Чайсом і Піттелем .

Продавець, що подорожує, графічне забарвлення, цикл Гамільтонів, серед інших, також, здається, мають фазові переходи для відповідної параметризації створення проблемних екземплярів. Я думаю, що можна з упевненістю сказати, що загальноприйнята думка, що всі проблеми NP-Complete мають фазовий перехід для відповідної параметризації.

Пов’язана з (деякими) моделями шуму для квантових обчислень є пороговим значенням рівня шуму, вище якого шумні ворота можуть бути змодельовані воротами Кліффорда, таким чином, щоб процеси квантових обчислень стали ефективно імітуватися. Для початку див. Plenio та Virmani, Верхня межа границь відмовлень від пошкоджень шумних квантових комп'ютерів, заснованих на кліренсі (arXiv: 0810.4340v1).

Такі розв'язувані моделі інформують нас про всюдисущу практичну проблему: для визначеної фізичної квантової системи, що контактує з тепловим резервуаром (можливо, при нульовій температурі), рівні шуму, пов'язані з цим тепловим резервуаром, нижче або вище порогового рівня для ефективного моделювання з класичною ресурси? Якщо останнє, то які алгоритми моделювання є оптимальними?

$k$$k$$k$

$f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

$k$$n$$k$$f(k)/2^k$

$f(k)$$f(k)+1$

• Ян Краточвіл, Петро Савіцький та Жолт Туза. Ще одне виникнення змінних робить перехід задоволеності від тривіального до NP-Complete , SIAM J. Comput. 22 (1) 203–210, 1993. doi: 10.1137 / 0222015

$f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• Хайді Гебауер, Захист від гіпотетичних міркувань з наслідками для SAT , Combinatorica 32 (5) 573–587, 2012. doi: 10.1007 / s00493-012-2679-y ( передрук )
• Хайді Гебауер, Тібор Шабо, Габор Тардос, місцева лема є тісною для SAT , SODA 2011.