Представлення булевої функції за допомогою многочлена

10

Припустимо, що у нас є булева функція від . Зрозуміло, що справжній багатофакторний многочлен такий, що на може бути багатолінійним. Назвіть кілька цікавих класів булевих функцій, для яких відомий мінімальний ступінь ? Чи маємо конкретні приклади? $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$

boolean-functions

— Т….
джерело

2

Пов’язано: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

— Андрій Бауер

1

Якщо ви не знайомі з цим, тісно пов'язані велика робота над "приблизним ступенем", яка запитує, який мінімальний ступінь полінома "наближається" до ? Я не знаю достатньо, щоб дати конкретні посилання, але інші хотіли б.

f

$f$

— usul

10

Будь-яка функція, яка має ненульову кореляцію з парністю, має ступінь . Тобто, якщо то унікальне багатолінійне розширення містить одночлен . Дійсно, оскільки , розширення Фур'є (виражене в ) буде містити термін , і відповідний одночлен не відображається в жодному іншому терміні. $n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

Нісан і Сегеді довели, що функції ступеня залежать від максимум змінних. Для ми можемо бути більш точними: функція повинна залежати щонайбільше від однієї координати. $d$ $d2^d$ $d = 1$

— Юваль Фільм
джерело

Це корисний момент. Що є хорошим посиланням на цю тему?

— Т ....

3

Ви можете подивитися на нещодавню книгу Райана О'Доннелла "Аналіз булевих функцій".

— Yuval Filmus

0

Класи булевих функцій з унікальною багатолінійною презентацією містять

Псевдо-булеві функції над реалами (теорема 1.34 [1])
Булева функція над одиничним кубом $[0,1]^n$

Фон

"Кожна булева функція може бути представлена диз'юнктивною нормальною формою та кон'юктивною нормальною формою." (Теорема 1.4 (с.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

і їх додатки містять

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(схеми) Складність багатолінійних обчислень поліномів Булева функція
(Фур'є-аналіз) Нижні межі для поліномів, що обчислюють булеві функції

Список літератури

[1] Булева функція теорії, алгоритмів та застосувань (Ів Крам, Пітер Л. Хаммер, 2011)

— чч
джерело

1

Так, очевидно. Тепер, як це відповідає на питання?

— Еміль Єржабек