Який мінімум для всіх розподілів одиничних векторів дисперсії крапкового добутку векторів?

Я намагаюся знайти розподіл по випадкових векторів, скажімо , на -вимірній сфері одиниці (де ), яка мінімізує умови обмеження . $n$ $x_1,\ldots, x_n$ $k$ $n > k$ $\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$ $\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

Я спробував деякі дистрибуції, і майже всі вони мають дисперсію $1/k$ . Наприклад, як розподіл, у якому кожна координата кожного $x_i$ незалежно і рівномірно вибирається з $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$ і розподіл, у якому кожен $x_i$ є незалежним рівномірним вектором на $k$ -вимірній кулі одиниці мають дисперсію $1/k$ .

Чи є $1/k$ мінімальна дисперсія серед усіх розподілів?

reference-request randomized-algorithms

— пенг
джерело

Наскільки щільна обв’язка вас цікавить? Тобто, чи буде цікава нижня межа 1 / 100k, яка працює лише для n> 100k, чи ні?

— daniello

@daniello, ти маєш на увазі нижню межу 1 / ck для n> ck, де c деяка константа? Як це довести?

— пенг

Щось я не розумію у питанні: на початку ви говорите про розподіл по одиничних векторах, але не всі дистрибутиви, які ви кажете, що ви намагалися генерувати одиничні вектори ... Ви маєте на увазі це для всіх , ?

x_{i}

$x_i$

E [| x_{i} |] = 1

$E[|x_i|] = 1$

— daniello

@deniello, я мав намір зробити всі вектори "одиничними". Вибачте, я забув зробити нормалізацію на "гауссовому" векторі, після нормалізації це буде те саме, що і рівномірний вектор. Дякую, що вказали на цю помилку.

— пенг

Я представлю рівнозначну, але простішу формулювання задачі та покажу нижню межу ( n / k - 1) / ( n −1). ~~Я також показую зв’язок із відкритою проблемою у квантовій інформації.~~ [Редагувати у версії 3: У попередніх редакціях я стверджував, що точна характеристика випадків, у яких досягається нижня межа, показана нижче, ймовірно, буде складною, оскільки аналогічне запитання у складному випадку включає відкриту проблему щодо SIC-POVM у квантова інформація. Однак цей зв'язок із SIC-POVM був неправильним. Докладніше див. У розділі "Неправильне підключення до SIC-POVM в квантовій інформації" нижче.]

Еквівалентна рецептура

По-перше, як уже вказувалося у відповіді Даніелло, зауважте, що Var ( x _i^Tx _j ) = E [( x _i^Tx _j ) ² ] - E [ x _i^Tx _j ] ² = E [( x _i^Tx _j ) ² ]. Тож у решті відповіді ми забуваємо про дисперсію і замість цього мінімізуємо max _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ].

Далі, як тільки ми вирішимо, що наша мета - мінімізувати max _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ], ми можемо ігнорувати обмеження, що E [ x _i^Tx _j ] = 0. Це тому, що якщо у нас є випадкові одиничних векторів x ₁ ,…, x _n , тоді ми можемо заперечити кожен з них незалежно з ймовірністю 1/2, щоб задовольнити E [ x _i^Tx _j ] = 0, не змінюючи значення цільової функції max _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j) ² ].

Крім того, зміна цільової функції з max _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ] на (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ] не змінює оптимальне значення. Остання є щонайбільше першою, оскільки середня максимальна. Однак ми завжди можемо зробити значення E [( x _i^Tx _j ) ² ] для різних варіантів ( i , j ) ( i ≠j ) дорівнює перестановці n векторів x ₁ ,…, x _n випадковим чином.

Отже, для будь-яких n та k оптимальне значення розглянутої задачі дорівнює мінімуму (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i^Tx _j ) ² ], де x ₁ ,…, x _n - випадкові величини, які приймають одиничні вектори в ℝ ^k як значення.

Однак за лінійністю очікування ця цільова функція дорівнює очікуваному значенню E [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i^Tx _j ) ² ]. Оскільки мінімум становить максимум середній показник, більше не потрібно розглядати розподіл ймовірностей. Тобто, оптимальне значення вищезазначеної задачі дорівнює оптимальному значенню наступного:

Виберіть одиничні вектори x ₁ ,…, x _n ∈ ℝ ^k, щоб мінімізувати (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i^Tx _j ) ² .

Нижня межа

Використовуючи цю еквівалентну рецептуру, ми доведемо, що оптимальне значення становить щонайменше ( n / k - 1) / ( n −1).

Для 1≤ i ≤ n , нехай X _i = x _i x _i^T є проектором рангу 1, відповідним одиничному вектору x _i . Тоді справедливо, що ( x _i^Tx _j ) ² = Tr ( X _i X _j ).

Нехай Y = ∑ _i X _i . Тоді встановлено, що ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n .

З нерівності Коші-Шварца випливає, що Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / k , а отже ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ² / к - н . Ділячи на n ( n −1), отримуємо, що об'єктивне значення принаймні ( n / k - 1) / ( n −1).

Зокрема, коли n = k +1, відповідь Даніелло знаходиться в коефіцієнті 2 від оптимального значення.

Коли ця нижня межа досяжна?

Досягнувши цей нижню межу ( п / K - 1) / ( п -1) еквівалентно роблячи Y = ( п / к ) Я . Я не знаю точної характеристики, коли вона досяжна, але існують наступні умови:

Коли n = k +1, це можна досягти, розглядаючи k +1 одиничні вектори, які утворюють правильний k -простий з центром у початку, покращуючись від 2 / ( k ( k +1)) у відповіді Даніелло на оптимальний 1 / k ² .
При п кратно до , то, очевидно , можна досягти шляхом фіксації ортогонального базису ℝ ^до і присвоєння кожному з базисних векторів в п / к в про ₁ , ..., V _н .
Більш загально, ніж остання точка кулі, якщо вона досяжна з деяким вибором k і обох n = n _{1, так} і n = n ₂ , то вона також досяжна для того ж k і n = n ₁ + n ₂ . Зокрема, це можна досягти, якщо n = a k + b, де a і b цілі числа, що задовольняють a ≥ b ≥0.

Хоча я ще не перевіряв деталі, здається, що будь-яка сферична 2-конструкція дає рішення для досягнення цієї нижньої межі.

Неправильне підключення до SIC-POVM в квантовій інформації

У попередніх редакціях я заявляв:

Я підозрюю, що відповісти на це повністю - важке питання. Причина полягає в тому, що якщо ми замість цього розглянемо складний векторний простір ℂ ^k , це питання пов'язане з відкритою проблемою у квантовій інформації.

Але це відношення було неправильним. Я поясню, чому.

Точніше, розглянемо таку проблему:

Виберіть одиничні вектори x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k, щоб мінімізувати (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} | x _i^*x _j | ² .

Нижня межа вище однаковою мірою є у цій складній версії. Розглянемо випадок, коли n = k ² у складному варіанті. Тоді нижня межа дорівнює 1 / ( k +1).

Поки це було правильно.

Набір k ² одиничних векторів x ₁ ,…, x _{k ²} ∈ ℂ ^{k, що} досягають нижньої межі, називається SIC-POVM в розмірі k ,

Ця частина була неправильною. SIC-POVM - сукупність k ² одиничних векторів x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k, для яких | x _i^*x _j | ² = 1 / ( k +1) для всіх i ≠ j . Зауважимо, що тут вимога повинна дотримуватися для всіх пар i ≠ j , а не лише середнього рівня для всіх пар i ≠ j . У розділі «Еквівалентна рецептура» ми показали еквівалентність між мінімізацією максимуму та мінімізацією середнього, але це було можливим, оскільки x ₁,…, X _n були випадковими змінними, що приймали туди одиничні вектори. Тут x ₁ ,…, x _n - просто одиничні вектори, тому ми не можемо використовувати один і той же трюк.

— Цуйосі Іто
джерело

Швидка і брудна відповідь на питання "ні, дисперсія може бути меншою": Нехай є стандартною базою, і розглянемо наступний випадковий процес: виберіть пару різних цілих чисел i, j від і встановіть . Для інших векторів (для ) призначте їх однозначно. Тоді для кожного або збережіть таким, яким він є, або переверніть його (на ) з ймовірністю . $v_1, v_2, \ldots, v_k$ $\{1,2,\ldots,k+1\}$ $x_i = x_j = v_1$ $x_t$ $t \notin \{i,j\}$ $v_2, \ldots, v_k$ $t \in \{1,\ldots,k+1\}$ $x_i$ $-x_i$ $\frac{1}{2}$

Неважко помітити, що - або і є ортогональними, або вони вказують в одному / протилежному напрямку з ймовірністю кожен. $E[x_a \cdot x_b] = 0$ $x_a$ $x_b$ $\frac{1}{2}$

З іншого боку, у нас . Маємо це якщо і лише тоді, коли що відбувається з імовірністю . Інакше . Таким чином, ми маємо, що для кожного , : $Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$ $(x_a \cdot x_b)^2 = 1$ $\{a,b\} = \{i,j\}$ $\frac{1}{k+1 \choose 2}$ $(x_a \cdot x_b)^2 = 0$ $a$ $b$

V a r [x_{a} \cdot x_{b}] = E [(x_{a} \cdot x_{b})^{2}] = \frac{1}{(\binom{k + 1}{2})}

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2] = \frac{1}{k+1 \choose 2}$

Моя інтуїція полягає в тому, що це так само погано (мало), як це стає, але я не маю доказів. Більш цікавим є те, що ця конструкція, здається, руйнується при n >> k, а також тоді, коли доводиться вибирати самостійно (можливо, з різних розподілів). $x_i$

— даніелло
джерело