Чи

Що станеться, якщо ми визначимо ${\bf PPAD}$ таким чином, що замість багаточасної схеми Тюрінга-машини / полісистеми проблема логотипу Turing-машини або ланцюга ${\bf AC^0}$ кодує проблему?

В останній час дає більш швидкі алгоритми для ланцюга здійсненності для невеликих ланцюгів виявилися важливими, так цікаво , що відбувається з rectricted версій ${\bf PPAD}$ .

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$Так, С 0 Р Д = Р Р Д . (Тут і нижче я припускаю, що A C 0 визначається як рівномірний клас. Звичайно, при неоднорідному A C 0 ми просто отримаємо P P A D / p o l y .)$\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$$\ac$$\ac$$\mathrm{PPAD/poly}$

Основна ідея досить проста: A C 0 може зробити один крок обчислення машини Тьюрінга, отже, ми зможемо імітувати один обчислюваний край у поліномі в часі поліноміально довгою лінією обчислюваних ребер A C 0 . Подальшим розширенням ідеї можна було б імітувати ребра, які можна обчислити в полі-часі, із оракул PPAD, тобто PPAD закритий при зменшенні Turing; цей аргумент викладений у Buss та Johnson .$\ac$$\ac$

У літературі є багато рівнозначних визначень PPAD, які різняться різними деталями, тому дозвольте мені виправити одне тут для визначеності. Завдання пошуку NP S є в PPAD, якщо є поліном p ( n ) і поліноміально-часові функції f ( x , u ) , g ( x , u ) , h ( x , u ) з такими властивостями. Для кожного вводу x довжини n , f і g представляють спрямований графік $S$$p(n)$$f(x,u)$$g(x,u)$$h(x,u)$$x$$n$$f$$g$x = ( V x , E x ) без самостійних циклів, де V x = { 0 , 1 } p ( n ) , і кожен вузол має ступінь і ступінь не більше 1 . Представлення таке, що якщо ( u , v ) ∈ E x , то f ( x , u ) = v і g ( x , v ) = u ; якщо$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$$f(x,u)=v$$g(x,v)=u$u має ступінь 0 , f ( x , u ) = u ; і якщо u має ступінь 0 , g ( x , u ) = u .$u$$0$$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

Вузол 0 p ( n ) ∈ V x є джерелом (тобто він має ступінь 0 і ступінь 1 ). Якщо u ∈ V x є будь-яке джерело або раковина (ступінь 1 , ступінь 0 ), відмінна від 0 p ( n ) , то h ( x , u ) є рішенням S ( x ) .$0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

Ми можемо визначити A C 0 P A D аналогічно, за винятком того, що нам потрібно f , g , h, щоб бути у F A C 0 .$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

Я буду ігнорувати h в конструкції для простоти. (Не важко показати, що можна вважати це проекцією, отже, A C 0 - обчислювальна.)$h$$\ac$

So, consider a PPAD problem $S$ defined by $f$ and $g$, and fix Turing machines computing $f$ and $g$ in time $q(n)$. For any $x$, we define a directed graph $G'_x=(V'_x,E'_x)$ whose vertices are sequences of the following form:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)$, where $u\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ configurations in the computation of $f(x,u)$.

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$, where $u,v\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, $f(x,u)=v$, $c_1,\dots,c_{q(n)}$ is the full computation of $f(x,u)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ steps in the computation of $g(x,v)$.

• $(1,v,d_1,\dots,d_k)$, where $0^{p(n)}\ne v\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ configurations in the computation of $g(x,v)$.

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$, where $u,v\in V_x$, $v\ne0^{p(n)}$, $0\le k\le q(n)$, $g(x,v)=u$, $d_1,\dots,d_{q(n)}$ is the computation of $g(x,v)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ steps in the computation of $f(x,u)$.

$E'_x$ consists of the edges in $V'_x\times V'_x$ of the following kinds:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ if $f(u)=v$ and $g(v)=u$ (i.e., either $(u,v)\in E_x$, or $u=v$ is an isolated vertex)

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$-functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$, and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$, $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$-computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$, we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$, and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$.

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$. Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$, except that in the special case $v=0^{p(n)}$, we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$. We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$.

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$, and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$-function $h'$ which outputs the second component of a sequence.