Діаметр графіків Кейлі підгруп без обертів

Бабай і Сересс довели, що, даючи підгрупу і генеруючу множину of , будь-яка перестановка в може бути записана як добуток генераторів та їх обертів довжиною . Ця межа є оптимальною, оскільки у є елемент порядку . S G G e ( 1 + o ( 1 ) ) $G \leq S_n$$S$$G$$G$ Sne(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$S_n$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Класичний факт, що кожен елемент у $S_n$ має порядок не більше $e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$ , поєднаний з результатом Бабая і Сересса, показує, що задана підгрупа $G \leq S_n$ і породжуючий набір $S$ з $G$ , будь-яка перестановка в $G$ може бути записана як добуток генераторів довжини не більше $e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$ .

Чи можемо ми покращити верхню межу $e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$ до $e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$ ?

Це питання надихнуло недавнє запитання " Автомати" та своєрідну накачувальну лему щодо функції переходу стану .

Відповідь - так, ми можемо покращити верхню межу до $\mathrm{e}^{(1 + o(1))\sqrt{n\ln n}}$ . Це було доведено в нещодавній статті Бабая (слідство 2.9).