ДОСЛІДЖЕННЯ - завершення проблем

Наразі я намагаюся знайти проблеми, що завершуються ЕКСПЕКСАМ (головним чином, щоб знайти натхнення для скорочення), і мене дивує невелика кількість результатів.

Поки що я знайшов це, і у мене виникають проблеми з розширенням списку:

• універсальність (або інші властивості) регулярних виразів з експоненцією.
• проблеми, пов'язані з системами векторного додавання
• непомітні ігри (див., наприклад, цей блог )
• деякий фрагмент FO-LTL, в « Про обчислювальну складність вирішуваних фрагментів» лінійної часової логіки першого порядку

Чи знаєте ви інші контексти, коли повнота EXPSPACE виявляється природним чином?

Розширюючи приклад, на який вказував Еміль Джерабек у коментарях, -повні проблеми виникають природним чином у всій алгебраїчній геометрії. Це почалося (я думаю) з проблеми ідеального членства ( Майр – Мейєр та Майр ) і, отже, з розрахунку основ Грьобнера. Потім це було розширено до обчислення сизігій ( Байєр та Стілман ). Багато природних проблем обчислювальної алгебраїчної геометрії в кінцевому рахунку є рівнозначними одній із цих проблем. Також дивіться опитування Байєра-Мамфорда "Що можна обчислити в алгебраїчній геометрії?"$\mathsf{EXPSPACE}$

Багато проблем, які є повними PSPACE, набувають завершення EXPSPACE, коли введення вводиться "лаконічно", тобто за допомогою деякого кодування, яке дозволяє описувати входи, які зазвичай мали б експоненціальний розмір.

Ось приклад на кінцевих автоматах (рівнозначно, на спрямованих графах із міченими ребрами): вирішити, чи приймуть два автомати однакову мову (мають однаковий набір мічених шляхів від походження до вузла призначення), це PSPACE-повне. Якщо автомати (графіки) задаються булевими формулами (вузли - це оцінки v, v ', .., а є булеві формули, які вказують, чи va-> v' є ребром), проблема стає EXPSPACE-завершеною. Примітка: Є багато інших способів коротко визначити великий графік / автомат, див., Наприклад, цей документ .

Приклад з регулярними виразами відповідає цьому шаблону. Введення позначення ".. ^ 2" для квадратування дозволяє писати компактно регулярні вирази, які були б дуже великими, якби розширити кожен "(foo) ^ 2" на "foo foo" та "((bar) ^ 2) ^ 2 "від" bar bar bar bar ". Зрозуміло, деякі проблеми, які не мають PSPACE, не застосовуючи квадрати, стають EXPSPACE-завершеними з дозволеними квадратиками, ось класичне посилання . [NB: Інші приклади, як-от регулярні вирази з перетином або з доповненнями, очевидно, не відповідають шаблону нових позначень, який розширюється на експоненціально більший вхід у стандартних позначеннях.]

Аналогічно, проблема, повна LOGSPACE (наприклад, доступність у спрямованих графах), може стати EXPSPACE-повною, якщо ваше коротке кодування дозволяє описувати графіки подвійно експоненціального розміру.

Підсумок: ви можете легко придумати нові, хоча і, можливо, штучні проблеми, повні для EXPSPACE, розглядаючи класичні проблеми PSPACE або LOGSPACE (яких ви знайдете багато) і дозволяючи компактне / стисле / .. кодування вводу.

Тимчасове планування з одночасними діями завершено ДОСЛІДНО, як показано на рисунку

Дж. Рінтанен, «Складність одночасного планування часу», Матеріали 17-ї Міжнародної конференції з автоматизованого планування та планування, с. 280–287, 2007

$A$$O$$o=(d,P_s,P_e,P_o,E_s,E_e)$

• $d\in\mathbb{N}$
• $P_s$$P_e$$P_o$$A$
• $E_s$$E_e$$A$

$I$$G$$I$$G$

$d$

У більшості стандартних класів з PSPACE (ну, навіть для NP, якщо вам подобається) є якась проблема плитки як повна проблема. Такі проблеми з плиткою не так вже й далекі від повних проблем, що базуються на природній машині Тьюрінга, але вони часто є досить зручними в якості відправної точки для скорочень. Коротше кажучи, проблема з плиткою дає вам набір дозволених плиток (тобто типів плиток, з яких ви можете використовувати стільки плиток, скільки вам подобається), і визначає, як їх можна поєднувати, часто набором Н горизонтально дозволених пар плитки та набір V вертикально дозволених типів. Крім того, можна вказати першу плитку та останню плитку, залежно від фактичної версії та кількості рядків та / або стовпців, які повинні мати плитка. Алгоритмічне питання полягає в тому, чи існує правильна плитка, тобто присвоєння позицій плитці, яка підкоряється всім обмеженням і має стартову плитку в нижньому лівому положенні та останню плитку у верхньому правому положенні. (Існує багато варіантів щодо точних визначень).

Для цього класу EXPSPACE ви можете вибрати (принаймні) дві версії:

• Експоненціальна ширина коридору плиткою, де заданий параметр n і питання полягає в наявності плитки з 2 ^ n стовпцями та будь-якою кількістю рядків
• гра в плитку exp-times-exp, де, з урахуванням n, плитка повинна бути розміром 2 ^ n разів 2 ^ n, де першою метою гравців є досягнення правильної плитки, а другий гравець намагається цього не допустити.

Документи, на які слід звернути увагу, - Богдан Шлебус: «Доміно-плиточні ігри». J. Comput. Сист. Наук. 32 (3): 374-392 (1986) - Пітер ван Емде Боас: "Зручність нахилів", в: Складність, теорія логіки та рекурсії, Примітки до лекції з чистої та прикладної математики, Вип. 187, 1997, с. 331-363.

Приклад та доказ наведено у Вступі до теорії автоматів, мов та обчислень Hopcroft / Ullman Thm13.16, що будь-який недетермінований алгоритм для теорії реалізмів першого порядку з додаванням є твердим NExpTime. отже, мабуть, це також важко для NExpSpace, якщо не виявиться теоретичний прорив, він може бути вирішений "у більш щільному просторі", але, звичайно, це питання схоже (майже ідентичне?) на L =? P. (інакше кажучи, всі відомі проблеми, пов’язані з NExpTime, також є основними кандидатами на NExpSpace-жорсткі, і якщо якісь, очевидно, не є, це, ймовірно, означатиме прорив дозволу розділення класу складності, що відкривається давно.) Доказ приходить від Фішера, Рабіна 1974 р. "Суперекспоненціальна складність арифметики Пребургера", " Складність обчислень"(Р. Карп, ред.). Праці симпозіуму прикладної математики SIAM-AMS.