Природні НП - повні проблеми з "великими" свідками

28

Питання на cteory " Що NP обмежується свідками лінійного розміру? " Задає питання про клас NP, обмежений лінійними розмірами свідками, але $O(n)$

Чи існують природні неповні проблеми, в яких (так) екземпляри розміру вимагають від свідків розміру більше ? $n$ $n$

Очевидно, що ми можемо будувати штучні проблеми, такі як:

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

Після швидкого огляду G & J, кожна природна проблема NPC, схоже, має свідків (строго) менших, ніж . $n$

Чи є для цього "причина / пояснення"?

cc.complexity-theory np proof-complexity

— Марціо Де Біасі
джерело

1

Багато проблем мають розмір свідків , як ізоморфізм графа та гамільтонів шлях. Ви хотіли виключити полілогічні фактори, чи це вважається відповіддю?

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— Джошуа Грохов

12

Власне, розмір свідка для графіка Ізоморфізм та Гамільтонів Шлях може розглядатися як підрядний на вході (враховуючи, що вхід є матрицею суміжності графіка).

n \times n

$n \times n$

— Райан Вільямс

1

О, так ... да.

— Джошуа Грохов

1

@MarzioDeBiasi Я думаю, що ваші спостереження за малими свідками повинні бути використані для визначення природної проблеми, що не стосується NP.

— Мохаммед Аль-Туркстані

1

@MarzioDeBiasi - Я згоден, що списку задовольняючих завдань достатньо, але чи можете ви довести, що немає коротших свідків проблеми? (можливо, стислий спосіб подання необхідних завдань).

— РБ

10

Як щодо числа фарбування ребер у щільному графіку (він же Хроматичний індекс )? Вам надається матриця примикання вершинного графіка ( бітний вхід), але природний свідок, що описує забарвлення, має розмір . Звичайно, в теоремі Візінга можуть бути коротші докази для графіків 1 класу . $n$ $n^2$ $n^2\log n$

Дивіться також це, можливо, пов'язане питання

— Андреас Бьорклунд
джерело

2

Це здається гарним прикладом! Лише зауваження: проблема є NP-повною навіть для кубічних графіків; у такому випадку ми маємо, що свідок розмірубітів достатньо (два біти на кожен край), що менше якщо ми використовуємо матричне представлення суміжності, і я підозрюю, що він менший за розмір екземпляра незалежно від розумного кодування, яке ми використовуємо для кубічного графіка.

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— Marzio De Biasi

8

Я зіткнувся з деякими цілком природними проблемами, пов'язаними з NP, які, здавалося б, вимагають довгих свідків. Проблеми, параметризовані цілими числами і , наступні: $C$ $D$

Вхід: Односмуговий TM Питання: Чи є деякі такі, що робить більше кроків на деякому вході довжиною ? $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

Іноді доповнення задачі простіше констатувати: чи працює дана односмугова ТМ за часом , тобто. чи робить це не більше кроків на всіх входах розміру , для всіх ? $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

Повний результат представлений тут . В основному, показано, що якщо ми хочемо перевірити, чи працює односмугова ТМ у часі , нам потрібно лише перевірити це на входах довжини, обмежених , де число станів вхідної ТМ. Таким чином, свідком буде введення довжини для якої порушено обмежений час. У посиланні також показано, що ці проблеми є NP-повними для всіх і . $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

Тепер, якщо свідок є вхідним сигналом, який порушує час роботи, він повинен бути загалом довжиною . А вхід має довжину . $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— Давид Г
джерело

3

Спасибі! Але, чесно кажучи, я вважаю більш "природною" (я знаю, що це не формальна концепція) проблема: "З огляду на формулу , вирішіть, чи має вона принаймні задовольняючі завдання" :-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Marzio De Biasi

Я розумію :). З іншого боку, проблема щодо має довжину свідка у питанні, тоді як проблема щодо ТМ отримує довжину свідка у доказі. Більше того, довжина свідка навмисно не враховується у проблемі.

φ

$\varphi$

— Девід Г

7

Ось приклад, який представляється природною проблемою.

Примірник: цілі числа, і , усі обмежені зверху . $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

Питання: Чи існує -кольоровий графік із ступеневою послідовністю ? $k$ $d_1,\ldots,d_n$

Тут вхід може бути описаний бітами , але свідок може вимагати бітів. $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

Зауваження: Я не маю посилання на те, що ця конкретна проблема справді не є повною. Але вимогу -кольоровості можна замінити будь-яким іншим умовою, повним NP; проблема, ймовірно, стане NP-повною для певного стану, якщо не для цієї. $k$

— Андрас Фараго
джерело

Для мене ця проблема має неправильну структуру, яка повинна бути NP-повною, якщо тільки P = NP. Класи графіків, визначені кожною послідовністю градусів, можуть бути дуже великими, і багато з них можуть мати -кольорові елементи з тривіальної причини.

n

$n$

— Андраш Саламон

@ AndrásSalamon Дійсно, я не знаю, у чому полягає складність цієї проблеми чи чи можна її зробити NP-завершеною, вибравши відповідну умову замість -кольорості. З іншого боку, я був би здивований, якби для кожної політекстової властивості, що перевіряється наступна проблема була б у P : чи існує графік із заданою послідовністю градусів, такий, що він також має властивість ?

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— Андрас Фараго

Я згоден, що здається, що малоймовірно, що послідовність ступенів + властивість завжди знаходиться в P, але, можливо, деякі з них є кандидатами на статус NP-проміжного?

— Андраш Саламон

@ AndrásSalamon Так, я дуже добре уявляю, що деякі з них мають статус NPI.

— Андрас Фараго

6

Можливо, це нерозумна "причина / пояснення", але для багатьох проблем NP-Complete рішення є підмножиною вхідних даних (рюкзак, кришка вершини, клік, домінуючий набір, незалежний набір, максимальний розріз, сума підмножини, ... ) або перестановка або присвоєння підмножині вхідних даних (Гамільтонів шлях, мандрівний продавець, SAT, ізоморфізм графіка, забарвлення графіків, ...).

Ми могли б спробувати прочитати більше цього, або придумати більш вигадливу причину, але я не впевнений, чи відбувається щось глибше чи ні.

— усул
джерело

Я думаю, що це справді чудова "перша ідея". Іноді проблеми не можна класифікувати однозначно. Наприклад, SAT також може бути проблемою підмножини ("вибрати підмножину справжніх змінних"). Або HAMCYCLE - проблема перестановки на вершинах, або проблема підмножини на ребрах? (BTW, можливо, "проблеми із призначенням" справді можуть бути "проблемами з розділами", подумайте, скажімо, 3-кольорові).

— Juho

3

Що стосується вашого першого запитання, Аллендер заявляє (у « Посилення нижньої межі засобами самовідновлення» ), що не відомо, що жодна природна NP-проблема не лежить поза NTIME (n). Це означає, що всі відомі природні комплекти NP мають свідчення лінійного розміру.

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

1

Зауважимо, що довжина найдовшого приймаючого шляху в недетермінованій машині Тюрінга відповідає розміру свідка.

— Мохаммед Аль-Туркстані

1

Розглянемо наступний варіант проблеми MAXCLIQUE .

Екземпляр: Схема із вхідними бітами та поліноміально обмеженим розміром у . Ця схема неявно визначає графік на вершинах, таким чином, що кожна вершина ототожнюється з бітною рядком, а дві вершини з'єднуються з ребром, якщо бітна рядок, отримана шляхом об'єднання двох ідентифікаторів вершин, є прийнята . Нехай позначає цей графік. Зверніть увагу , що вона має експоненціально багато вершин в , але по - , як і раніше визначається поліноміальних описом розмірів . $C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

Питання: Чи містить кліку розміром , де - фіксована константа? $G(C)$ $n^k$ $k$

Примітки:

Проблема неповна. Утримання в очевидно. Повноту можна довести, спостерігаючи, що якщо схема приймає лише вершинні пари, в яких кожен ідентифікується не більше , то може бути довільним графом вершини плюс безліч відокремлених вершин. (Будь-який такий графік вершини може бути закодований в , оскільки дозволено мати розмір полінома в , і так само в ) Тоді виникає питання: чи існує велика кліка в вершині графік? Це , як відомо, NP-повної, для загального . Питання, що $NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ $N$ $N$ не є довільним, воно обмежене , може бути усунене відповідним набиванням. $N=2n^k$
Природним свідком вихідної проблеми є клітина розміру , яка може бути описана довгою струною ( бітна рядок для кожної з вершин ). Зауважте, що може бути дуже великою постійною, тому свідок може бути набагато довшим, ніж лінійний. (Навіть якщо розмір вводу - це опис , а не , цей свідчення може бути набагато довшим, оскільки може бути обраний незалежно від ) $n^k$ $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
Проблему можна розглядати як природну, оскільки це варіант MAXCLIQUE .
Коли Аллендер написав, що "жодна природна проблема повного NP не відома поза " (див. Посилення нижньої межі засобами самовідновлення , розділ 7), він, можливо, мав на увазі вузьку концепцію природності. Наприклад, природне може бути звужене до того, що люди дійсно хочуть вирішити на основі незалежних, практичних мотивацій. Це недостатньо, якщо проблема не будується за допомогою діагоналізації. $NTIME(n)$

— Андрас Фараго
джерело

n

$n$

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$ має напівкліка.

— Андрас Фараго