Відношення однозначності для теорії катеогрій до концепції скелета

Скажімо, я працюю в теорії типу гомотопії, і мої єдині об'єкти дослідження - це звичайні категорії.

Рівнозначення тут дають функтори $F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$ і $G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$які забезпечують еквівалентність категорій ${\bf C} \simeq {\bf D}$. Існують природні ізоморфізми$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$ і $\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$ так що цей функтор і "зворотний" функтор перетворюються на одиничний функтор.

Тепер однозначність відноситься до еквівалентності типу ідентичності${\bf C}={\bf D}$теорії навмисного типу, яку я обрав для розмови про категорії. Оскільки я маю справу лише з категоріями, і вони є рівнозначними, якщо вони мають ізоморфні скелети , мені цікаво, чи можу я висловити аксіому одновалентності з точки зору переходу до скелета категорій.

Або, інакше, чи можу я визначити тип ідентичності, тобто синтаксичний вираз ${\bf C}={\bf D}:=\dots$ таким чином, який по суті говорить, "існує скелет (або ізоморфа) і ${\bf C}$ і ${\bf D}$ обидва вони рівнозначні. "

(У вищесказаному я намагаюся інтерпретувати теорію типів у поняттях, які легше визначити - категорія теоретичних понять. Я думаю про це тому, що морально мені здається, що аксіома "коригує" теорію навмисних типів жорстким кодуванням принцип еквівалентності , який вже є природною частиною формулювання категорії теоретичних тверджень, наприклад , задають об'єкти тільки в термінах універсальних властивостей.)

Я відсилаю вас до глави 9 книги HoTT. Зокрема, категорія визначається таким чином, що ізоморфні об'єкти рівні, див. Визначення 9.1.6 . Як вказує Приклад 9.1.15, в HoTT насправді немає розумного поняття "скелетність". Це тому, що рівність настільки слабка, що вже означає "ізоморфну".

Крім того, теорема 9.4.16 говорить

Теорема 9.4.16: Якщо$A$ і $B$ є категоріями, то функція

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$ (визначена індукцією на функтор ідентичності) - це еквівалентність типів.

Теорема говорить нам, що Аксіома універсальності дає нам своєрідну мрію теоретика катерії: еквівалентні категорії рівні.

Ви запитуєте, чи можете ви звести аксіому Універсальності до твердження про категорії. Спроби використання скелетів не спрацюють, оскільки не існує хорошого способу сказати "скелетний". Ми можемо запитати, чи передбачає теорема 9.4.16 аксіома однозначності. Наскільки я бачу, це не буде так, бо категорія має а$1$-тип (групоподібний) об’єктів і а $0$-тип (набір) морфізмів, тому теорема 9.4.16 становить щось на зразок аксіоми Універсальності лише для 1-типів.