Просто набрано лямбда-числення та логіку вищого порядку

Яке співвідношення між просто набраним лямбдальним численням та логікою вищого порядку?

Згідно з Кері-Говард, здається, що просто набране лямбда-числення відповідає логіці пропозицій. Як це пов'язано з логікою вищого порядку? Відповідно до цього підручника від Geuvers: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf мова HOL здається STT. Чи не повинно бути ПРОП? Що це означає?

Чи мав на увазі Церква HOL, коли вона визначала STT?

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— лямбда2
джерело

Так, Церква мала на увазі HOL. Трюк отримання HOL від STT полягає у використанні рівності на додаток до застосування функцій та абстракції функцій. Тоді ви можете записати

як

, серед інших. Мені подобається «Сім чеснот теорії простих типів» як вступ до STT, який стосується такого роду питань. Можливо, я мушу написати відповідь ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— Томас Клімпель

Отже, коли говорити про Керрі-Говарда, яка б була правильна логіка, еквівалентна STT? HOL або PROP?

— lambda2

Стосовно Керрі-Говарда, то не думаю, що це буде HOL. Можливо, це мультиплікативний фрагмент інтуїтивістського ПРОП, тобто інтуїтивістський PROP без "чи". Але це було для CCC (декартової закритої категорії), і я зараз трохи втомився. Ламбда, ймовірно, буде перекладено як "імплікація", яка була "експоненціальною" в CCC. "Продукт" від CCC був "і", тому для цього вам знадобиться "пара" в STT. І "або" буде типом "сума" в STT тоді, тобто роз'єднаний союз, можливо, якщо "a", то "b" else "c" робить це.

— Томас Клімпель

Я думаю, що я щось плутаю (або все). Якщо STT ~ = PROP (через Curry-Howard), а STT також HOL, то я можу використовувати PROP в якомусь сенсі, щоб мати HOL?

— lambda2

@ThomasKlimpel: ви повинні перетворити свої коментарі у відповідь.

— коді

Відмінність така: якщо STLC взято як примітивну мову на рівні типу, що додає конструктори, і невелика кількість аксіом достатня, щоб надати повну виразну силу HOL.

$\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

$\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

$[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

$\lambda$

— коді
джерело

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

Що це за розумні аксіоми, будь ласка? Я думаю, це пов’язано із забезпеченням способу довести рівність ... Також, чи знаєте ви ім'я, щоб чітко розрізнити рівні розширень HOL? (з рівністю, потім з поліморфним типом, потім із залежними типами).

— Hibou57

@ Hibou57 аксіоми викладені у чудовій статті Сім чеснот теорії простого типу . Я не знаю, що є чіткі назви для розрізнення різних розширень STT, окрім тих, які ви використовували.

— Коди