Чи складність Колмогорова є сюжективною функцією?

Зафіксуємо кодування машин Тьюрінга та універсальної машини Тьюрінга, U, що на вході (T, x) видає будь-які виходи T на вході x (можливо, обидва працюють вічно). Визначте складність Колмогорова x, K (x) як довжину найкоротшої програми, p, таку, що U (p) = x.

Чи існує N такий, що для всіх n> N існує x з K (x) = n?

Зауваження. Якщо ми визначимо універсальні машини Тьюрінга по-іншому, відповідь може бути негативною. Наприклад, вважаємо U, що на вході (T, x) імітує T на x, якщо довжина (T, x) ділиться на 100, інакше нічого не робить. Можна змінити цей приклад кількома способами, щоб отримати контрприклади для різних визначень універсальних машин Тьюрінга.

— домоторп
джерело

Далеко від того, що ви просите, але я думаю, що це не важко довести, що образ

K

$K$ має позитивну лінійну щільність незалежно від

U

$U$ . Це означає, наприклад, що

K (x)

$K(x)$ є нескінченно часто складеним.

— Dan Brumleve

Лише розширений коментар без глибокого розуміння: можливо, ви можете обдурити кодування машини Тюрінга та створити штучне кодування, що призводить до складності словесного Колмогорова:

$0$ являє собою машину Тюрінга, яка виводить $0$ (1 стан ТМ);
$0p$ являє собою машину Тюрінга, яка виводить $p+1$ (число, представлене двійковим рядком $p$ плюс один); це просто неявна "блискавка" версія рішучої TM, яка виводить $p+1$ ;
$1p$ являє собою $p+1$ -те машина Тюрінга в стандартному переліку (перерахування може пропустити ТМ, які вже входять до $0$ і $0p$ ).

Відповідна універсальна ТМ на вході $bx$ перевіряє, яка вартість $b$ , якщо це $0$ то він просто виводить $x+1$ , інакше вона імітує ТМ $M_{x+1}$ ( $M_0$ коли $x$ порожній рядок); зауважте, що $M_{x+1}$ вбудовує входи.

Для всіх рядків $x$ , $1 \leq K(x) \leq |x|+1$ ; і для всіх $n \geq 1$ там є $2^{n}$ пасма довжини $n$ але є тільки $2^{n-1}-1$ програми тривалості $< n$ які можна представити за допомогою $1p$ кодування; і тільки $2^{n}-1$ програми тривалості $n$ які можна представити за допомогою $1p$ кодування; так щонайменше рядок $x'$ довжини $n$ не може бути представлено програмою $1p$ довжини $\leq n$ ; але це, безумовно, може бути представлено програмою $0x'$ довжини $n+1$ (ми не хвилюємось, чи є також програма $1p$ однакової довжини $n+1$ що породжує його).

Можна зробити висновок, що для всіх $n > 1$ , існує рядок $x', |x'|=n$ такий як $K(x') = n+1$ (тому цей конкретний К є сюжективним).

— Марціо Де Біасі
джерело