Кінцева одностороння перестановка з нескінченним доменом

Нехай $\pi \colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ - перестановка. Зауважте, що хоча $\pi$ діє на нескінченну область, його опис може бути кінцевим. Під описом я маю на увазі програму, яка описує функціональність $\pi$ . (Як щодо складності Колмогорова.) Пояснення див. Нижче.

Наприклад, функція NOT є однією з таких перестановок:

функція НЕ (x)
    Нехай y = x
    Для i = 1 до | x |
        Переверніть i-й біт y
    повернути у

, визначений нижче, - інший випадок:$\pi_k(\cdot)$

функція pi_k (x)
    повернення x + k (mod 2 ^ | x |)

Моє запитання стосується особливого класу перестановок, який називається односторонніми перестановками . Неформально кажучи, це перестановки, які легко обчислити, але важко інвертувати (для машини ). Просте існування односторонніх перестановок є давньою відкритою проблемою в криптографії та теорії складності, але в решті ми будемо вважати, що вони існують.$\rm{BPP}$

$n = pq$$e = 65537$$\pi_n(x) = x^e \bmod n$

Зауважте, що RSA визначається через кінцевий домен . Насправді, щоб отримати нескінченну перестановку домену, треба розглянути сімейство перестановок RSA , де - нескінченна множина цілих чисел Blum. Зауважимо, що - це опис родини, і за визначенням він нескінченний.$\mathbb{Z}_n$$\{\pi_n\}_{n\in D}$$D$$D$

Моє запитання (якщо припустити існування односторонньої перестановки):

Чи існують односторонні перестановки з обмеженим описом над нескінченною областю ?

Відповідь може бути різною: вона може бути позитивною, негативною або відкритою (або, ймовірно, позитивною , або ймовірно, негативною ).

Фон

Питання виникло, коли я читав документ ASIACRYPT 2009 . Там автор неявно (і в контексті якихось доказів) припускав, що існують такі однобічні перестановки.

Я буду радий, якщо це дійсно так, хоча я не зміг знайти доказ.

У статті Про побудову 1-1 односторонніх функцій Голдрейха, Левіна та Нісана показано, як побудувати збереження довжини 1-1 функцій з нескінченними областями та кінцевим описом. Твердість інвертування функцій базується на популярних припущеннях, таких як твердість інвертування RSA або знаходження дискретних логарифмів.

Їх побудова - це поворот прямої ідеї перетворення сімейства односторонніх функцій в єдину односторонню функцію, встановивши де - випадковість, яка використовується для вибору індексу і - випадковість, що використовується для вибору вхідного сигналу (з урахуванням індексу ).$\{f_i\}_i$$f(r,s) = f_i(x)$$r$$i$$s$$x$$i$

Проблема вищезгаданої ідеї полягає в тому, що не обов'язково 1-1. Вони виправляють цю проблему, трохи модифікуючи і стверджуючи, що за певних умов сімейства , нове будівництво дійсно є 1-1. Потім вони показують, що ці умови задовольняють функції на основі RSA / дискретного журналу.$f(r,s)$$f(r,s)$$\{f_i\}_i$