Найкраща нижня межа поточного простору для SAT?

які найкращі нижні межі поточного простору для SAT?

Під нижньою межею пробілу я маю на увазі кількість комірок робочої стрічки, використовуваних машиною Тьюрінга, яка використовує алфавіт двійкової робочої стрічки. Постійний термін добавки неминучий, оскільки ТМ може використовувати внутрішні стани для імітації будь-якої фіксованої кількості комірок робочої стрічки. Однак мені цікаво контролювати мультиплікативну константу, яка часто залишається неявною: звичайна установка дозволяє довільну постійну компресію за допомогою великих алфавітів, тому мультипликативна константа там не має значення, але з фіксованим алфавітом слід мати можливість враховувати це.

Наприклад, для SAT потрібно більше, ніж $\log\log n + c$ місця; як ні, тоді ця верхня межа простору призвела б до часової верхньої межі $n^{1+o(1)}$ за допомогою моделювання, і, таким чином, комбінована $n^{1.801+o(1)}$ нижня межа простору-часу для SAT буде порушена (див. посилання питання). Можливо, також можна вдосконалити цей аргумент, стверджуючи, що SAT вимагає принаймні $\delta\log n + c$ простору для деякого невеликого позитивного $\delta$ що є чимось на зразок $0.801/C$ , де $C$ - постійний показник у симуляції просторово обмеженої ТМ обмеженою часом ТМ.

На жаль, $C$ зазвичай досить великий (і, звичайно, щонайменше 2 у звичайному моделюванні, де стрічки ТМ спочатку кодуються на одній стрічці за допомогою більшого алфавіту). Такі межі з $\delta \ll 1$ є досить слабкими, і мені було б особливо цікаво простір нижньої межі $\log n + c$ . Беззастережна нижня межа ступенів $\Omega(n^d)$ для деякої досить великої постійної $d > 1$ означала б такий простір нижньої межі за допомогою моделювання. Однак часові межі $\Omega(n^d)$ для $d>1$ наразі невідомі, не кажучи вже про великі $d$ .

Інакше кажучи, я шукаю те, що було б наслідком надлінійних нижчих меж часу для SAT, але які могли б отримати більше безпосередньо.

— Андраш Саламон
джерело

як і в іншій відповіді (наприклад, RW), зосередження уваги на часових або просторових нижчих межах окремо виявляється недосяжним і має лише слабкі / загальні відомі межі, а провідні дослідження в цій галузі породжують відносно новішу концепцію комбінованої часопросторової складності.

— vzn

Відповіді:

Схоже, найкраще відоме пов'язане (для багатотапних машин Тьюрінга) логарифмічне.

Припустимо, бітів бінарної робочої стрічки достатньо для того, щоб вирішити, чи будь-яка бітна формула CNF задоволена для всіх досить великих . За допомогою стандартного моделювання TM з станами що використовує не більше бітів простору, може бути імітовано TM, що має щонайбільше $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ різні конфігурації. Кожного разу, коли машина приймає, є послідовність (недетермінованих) рухів, що досягають приймаючого стану, що становить щонайбільше, ніж ця кількість конфігурацій. Коли , це максимум (зауважте, що залишається однаковим для всіх вхідних довжин ). На окремій лічильній стрічці $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ $M$ спочатку можна записати цю кількість унітарно, потім на кожному етапі моделювання стирають один із символів лічильника та завершують обчислення, якщо у нього колись не вистачає лічильних символів. Це створює постійний коефіцієнт накладних витрат (щось на зразок 3), який поглинається членом в експоненті. Отже, кроків достатньо. $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

За припущенням , тому добуток часу-простору становить щонайбільше . $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

Рахул Сантанам показав у 2001 р. (Див. Doi: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00227-1 ), що продукт простору та часу для машини Тьюрінга, яка вирішує SAT, повинен бути не менше ; його аргумент стосується також і недетермінованих машин. Отже, , і принаймні бітів бінарної робочої стрічки потрібні. $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

Загалом, додаткові робочі стрічки та більший алфавіт робочої стрічки змінюють показник постійним фактором. Це в кінцевому рахунку зменшує коефіцієнт , але нижня межа простору все ще . $\delta$ $\Omega(\log n)$

— Андраш Саламон
джерело

Можливо, ми можемо довести нижню межу простору для SAT таким чином (але я не впевнений у обмеженому / асимптотичному аналізі, тому моя відповідь може бути абсолютно помилковою). $\log n$

На моделі машини Тьюрінга з однією вхідною стрічкою для читання та однією робочою стрічкою, над бінарним алфавітом , для кожного рішення з станами на вході розміром маємо: $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

T (n) \leq c 2^{S (n)} n S (n) (1)

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

в іншому випадку машина Тюрінга вічно замикається ( компонент представляє всі можливі конфігурації стрічки; компонент представляє вхідні положення стрічки стрічки, тоді як компонент представляє положення робочої стрічки). На одній стрічці одна головка TM над бінарним алфавітом (1) стає . $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

Помноживши обидва терміни на і застосувавши загальний просторово-часовий компроміс для SAT, отримаємо: $S(n)$

n^{1.801 + o (1)} \leq S (n) \cdot T (n) \leq c S (n)^{2} 2^{S (n)} n

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

Тож вибір верхньої межі простору, як для SAT, справді призведе до суперечності $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{c ((\log n)^{1 - ϵ})^{2} 2^{(\log n)^{1 - ϵ}} n} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

lim_{n \to \infty} (0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1 - ϵ) \log (\log n) - (\log n)^{1 - ϵ}) = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— Марціо Де Біасі
джерело

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$ for some constant

C

$C$ . The last step you provide can also be made stronger, as a contradiction follows even from

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$ for

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$ .

— András Salamon

@AndrásSalamon: on the

S \cdot T

$S\cdot T$ bound side, you cannot expect easy improvements: from S. Buss and R. Williams. Limits on Alternation-Trading Proofs for Time-Space Lower Bounds, 2012: "We show that new techniques are provably necessary in order to prove any better time-space lower bounds for the satisfiability problem. That is, the method of "alternation-trading proofs" used to establish that SAT cannot be solved in

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$ time and

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$ space cannot prove an

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$ time lower bound, for every

ϵ > 0

$\epsilon >0$ ". Do you have any idea :-)?

— Marzio De Biasi

I think this is about as far as one can go using the space-time bounds, precisely because Ryan's approach is as far as these bounds go.

— András Salamon

To even store a SAT instance you need

Ω (n)

$\Omega(n)$ and read it you need

Ω (n)

$\Omega(n)$ time. Doesn't this prove

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$ ST lower bound?

— T....

@Turbo, it is not clear that every algorithm to decide SAT has to store the instance: proving an

Ω (n)

$\Omega(n)$ bit deterministic space lower bound would show

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$ .

— András Salamon