Вплив програми Гротендіка на TCS

Гротендік помер . Він мав величезний вплив на математику 20 століття, продовжуючи і до 21 століття. Це питання задається дещо в стилі / дусі, наприклад, внеску Алана Тьюрінга в інформатику .

Які основні впливи Гротендіка на теоретичну інформатику?

Нерівність Гротендіка , починаючи з його функціональних аналізів, спочатку було доведено, що вона відповідає основним нормам тензорних просторів продуктів. Гротендік назвав нерівність "фундаментальною теоремою метричної теорії тензорних просторів добутку", і опублікував її у відомій тепер статті в 1958 році французькою мовою в обмеженому тиражі бразильського журналу. Паперу протягом 15 років великою мірою ігнорували, доки її не було повторно розкрито Лінденштраус та Пельчинський (після того, як Гротендік залишив функціональний аналіз). Вони дали багато переформулювань основних результатів статті, пов'язували це з дослідженням абсолютно підсумовуючих операторів та норм факторизації, і зауважили, що Гротендік вирішив "відкриті" проблеми, які були порушені післястаття була опублікована. Пизье дає дуже докладний звіт про нерівність, її варіанти, і його величезний вплив на функціональний аналіз в його огляді .

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ S n + m - 1 R n + $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Докази нерівності дають "алгоритми округлення", і насправді випадкове округлення гіперплана Гемена-Вільямсона виконує цю роботу (але дає субоптимальну константу). Однак нерівність Гротендіка цікава тим, що аналіз алгоритму округлення повинен бути "глобальним", тобто разом переглядати всі умови цільової функції.

Сказавши це, не слід дивуватися, що нерівність Гротендієкса знайшла друге (третє - четверте?) Життя в інформатиці. Khot і Naor обстежують його безліч застосувань і з'єднань з комбінаторною оптимізацією.

На цьому історія не закінчується. Нерівність пов'язана з порушеннями нерівності Белла в квантовій механіці (див. Статтю Пізьє ), використовувалася Лініалом та Шрайбманом у роботі над складністю комунікацій і навіть виявилася корисною в роботі над аналізом приватних даних (безсоромна пластина).

Вплив Гротендіка можна відчути в теорії типів і логіці. Наприклад, теорія категорій логіки і типів Барта Джейкобса на 700+ сторінок дає рівномірне трактування різних теорій типів ( теорія типу , де ), засновані на категоричному понятті фігурацій Гротендіка (його також називають декартовою фібрацією). Так само поняття Топоса , також завдяки Гротендіку, відіграє важку роль у наданні категоричної семантики логікам та теоріям типів, що цікавить і логіків, і теоретиків-комп'ютерів.X ⊆ { простий , залежний , поліморфний , вищого порядку $X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

Будь-яке застосування -адичної когомології, еталевої когомології у формулах підрахунку точок для алгебраїчних різновидів має коріння в його роботі.$p$

Я здогадуюсь, що бачення Мулмулі узагальнення гіпотези Рімана щодо кінцевих полів, що виходять із гіпотез Вейля, можна вважати питанням, яке спочатку мало плідні результати з еталельної когомології Гротендіка.