Перерахування плоских графіків обмеженої ширини

Я шукаю посилання на наступну проблему: задані цілі числа і , перерахуйте всі неізоморфні плоскі графіки на вершинах і широті ширини . Мене цікавлять як теоретичні, так і практичні результати, але в основному практичні алгоритми, які можна кодувати і запускати на максимально великі значення і (подумайте і ). Якщо у вас вже є відповідь, проігноруйте сутички нижче.$n$$k$$n$$\leq k$$n$$k$$k \leq 5$$n \leq 15$

Наступний підхід працює на зразок нормально для перерахування всіх неізоморфних графіків на вершинах та широті ширини (тобто при падінні обмеження планарності):$n$$\leq k$

(a) Перерахуйте всі неізоморфні графіки на вершинах і широті ширини .$n-1$$\leq k$

(b) Для кожної вершини на вершини та широти ширини , кожної кліки на вершинах у та кожної підмножини ребер у складають від , додаючи нову вершину примикає до . Додайте до списку гратів на вершинах та широті ширини .$G$$n-1$$\leq k$$C$$\leq k$$G$$S$$C$$G'$$G - S$$v$$C$$G'$${\cal L}$$n$$\leq k$

(c) Обрізати , видаливши копії одного графа.${\cal L}$

Заманливий спосіб розширити це на перерахування плоских графіків шириною ширини - це просто відфільтрувати непланарні графіки при кожній ітерації. На жаль, це не в змозі генерувати всі плоскі графіки шириною ширини (наприклад, тому що вона перелічує лише вироджені графіки).$\leq k$$\leq k$$4$

Звичайно, ми могли перерахувати всі графіки на вершинах і широкій ширині і лише потім відфільтрувати непланарні, але це не вдається використати, що більшість графіків є непланарними і здається дуже неоптимальними.$n$$\leq k$

Існує приємне програмне забезпечення, яке генерує невеликі плоскі графіки щодо ізоморфізму, що може допомогти. Як я бачу, одна з проблем полягала в тому, щоб генерувати неізоморфні плоскі графіки, і більшість із цих планарних графіків (на менше 15 вершин) мають невелику ширину.

Для перевірки, чи менша їхня ширина, ніж задане значення $k$, один із способів - використовувати евристичні алгоритми для прискорення цього обчислення, лише у випадку, якщо точні алгоритми не практичні. наприклад, у площинному графіку$G$ спочатку ми можемо знайти діаметр $G$ і відповідний шлях $P$ довжини $d$(що є діаметром). Потім знайдіть вершину$v\in P$ яка має найкоротшу найдовшу відстань ($l$) до будь-якої іншої вершини $u\in G\setminus P$ серед усіх вершин $w\in P$. Ширина ширини$G$ є щонайбільше $d+l$, якщо це менше $k$ тоді ми робимо інакше або застосовуємо якісь інші евристичні алгоритми, або запускаємо точний алгоритм.

Для менш ніж 3 з’єднаних графіків також можна застосувати евристику, відшукуючи вирізані вершини, а потім виправляючи ці вершини та знаходячи ширину дерева залишився графа. Але оскільки кількість вузлів невелика ($15$) якщо графік $4$-поєднаний тоді діаметр не великий, і я думаю, що перший евристик повинен працювати там. (Я не знаю, чи є 5 зв'язаних планарних граф на щонайменше 15 вершинах, але, як ми знаємо, немає$t$-поєднаний плоский графік для $t>5$)

Як розмір найбільшої перешкоди для ширини дерева $k$ невідомо, ми не можемо просто відгадати верхнє значення ширини заданого графа $G$. Але здається, що принаймні для плоских графіків вона не повинна бути такою великою (слід надати доказ цього).

Можна перерахувати всі пари $G,B$ де $G$ являє собою плоский графік з максимальною шириною ширини $k$, $B$ - сумка розміром $k$ такий, що існує дерево-розкладання $G$ з $B$ як сумка.

Тепер для кожної пари $G,B$ де $G$ має $n-1$ вершин ми будуємо новий графік $G'$ для кожного підмножини $S$ з $B$ додавши вершину $v$ з $S$ як сусіди і нехай $B'$ бути розміром $k$ підмножина $B \cup v$. Додайте$G',B'$ якщо $G'$ планарний і не є ізоморфним для жодної пари, яка вже знайдена.

Проста верхня межа про те, скільки записів потрібно зберігати $n \choose k$разів кількість перелічених графіків, але це песимістична межа. Для більшості графіків широкої ширини k більшість підмножин розміром k не можуть мати мішок, наприклад a$k \times n$ сітка тільки $n \cdot 3^{k-1}$ можливі сумки.

Я вважаю, що це буде добре, як і алгоритм непланарних графіків, оскільки для кожної пари G, B ми отримуємо графік, роблячи B клікою, більшість з цих графіків будуть неізоморфними.

Є кілька хитрощів, які можна застосувати, щоб прискорити це, я б запропонував переглянути: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf